Để chứng minh bất đẳng thức này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp bổ sung.

Bắt đầu với biểu thức cần chứng minh:

a² + (b+1)/(a+b+ab) + b²(c+1)/(b+c+bc) + c²(a+1)/(c+a+ca) >= ...

Chúng ta có a + b + c = 3, từ đó có thể suy ra: a + b + ab = 3 - c b + c + bc = 3 - a c + a + ca = 3 - b

Thay các giá trị này vào biểu thức cần chứng minh:

a² + (b+1)/(3-c) + b²(c+1)/(3-a) + c²(a+1)/(3-b) >= ...

Tiếp theo, chúng ta sẽ áp dụng bổ sung để đưa các biểu thức phía sau dấu "≥" về dạng tổng các thành phần liên quan đến từng biến a, b, c. Ta có:

(b+1)/(3-c) = (b+1)/(b+c+bc) = 1/(1+1/(b+c+bc)) = 1/(1+(3-a)/(a(3-a))) = a/(a(3-a)+3-a) = a/(4a-a²) = 1/(4-a)

(b²(c+1))/(3-a) = b²(c+1)/(b+c+bc) = (c+1)/(1+1/(b+c+bc)) = (c+1)/(1+(3-a)/(a(3-a))) = (c+1)/(4a-a²) = (c+1)/(4-a)

(c²(a+1))/(3-b) = (c²(a+1))/(c+a+ca) = (a+1)/(1+1/(c+a+ca)) = (a+1)/(1+(3-b)/(b(3-b))) = (a+1)/(4b-b²) = (a+1)/(4-b)

Thay các biểu thức này vào bất đẳng thức ban đầu:

a² + (b+1)/(3-c) + b²(c+1)/(3-a) + c²(a+1)/(3-b) >= a² + 1/(4-a) + (c+1)/(4-b) + (a+1)/(4-b)

Tiếp theo, chúng ta sẽ chứng minh rằng a² + 1/(4-a) >= 2a:

a² + 1/(4-a) >= 2a a²(4-a) + 1 >= 2a(4-a) 4a² - a³ + 1 >= 8a - 2a² a³ - 6a² + 8a - 1 <= 0 (a-1)(a²-5a+1) <= 0

Điều này đúng với a > 0 và a + b + c = 3.

Tương tự, ta có: (b+1)/(3-c) + c²(a+1)/(3-b) >= 2b (c+1)/(4-b) + c²(a+1)/(3-b) >= 2c

Thay vào bất đẳng thức ban đầu:

a² + (b+1)/(3-c) + b²(c+1)/(3-a) + c²(a+1)/(3-b) >= a² + 1/(4-a) + (c+1)/(4-b) + (a+1)/(4-b)

= 2a + 2b + 2c = 2(a+b+c) = 2(3) = 6

Vậy ta đã chứng minh được bất đẳng thức ban đầu:

a² + (b+1)/(a+b+ab) + b²(c+1)/(b+c+bc) + c²(a+1)/(c+a+ca) >= 6