Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng một số khái niệm và tính chất về hình học đường tròn và tứ giác nội tiếp. 

a) Để chứng minh tứ giác MNOP là tứ giác nội tiếp, ta cần chứng minh rằng tứ giác này có tứ giác nội tiếp được định nghĩa là tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn.

Để chứng minh điều này, ta sẽ sử dụng tính chất về góc nội tiếp và góc tiếp tuyến. Gọi I là giao điểm của MN và OP. Vì MN và MP là hai tiếp tuyến của đường tròn (O), nên góc MON và góc MOP là góc tiếp tuyến và có cùng đỉnh O. Do đó, góc M MOP.

Tương tự, ta có góc MNO = góc MPO.

Do đó, tứ giác MNOP có hai cặp góc đối nhau bằng nhau (góc M MOP và góc MNO = góc MPO), từ đó suy ra tứ giác MNOP là tứ giác nội tiếp.

b) Để chứng minh MH·MO = MD·ME và IA + KB > AB, ta sẽ sử dụng tính chất của đường tiếp tuyến và tứ giác nội tiếp.

Gọi T là giao điểm của đường tiếp tuyến tại D với đường tròn (O). Vì MD và ME là đường tiếp tuyến của (O), nên góc MDT = góc MET.

Xét tứ giác MOTE, ta có:
Góc MET = góc MDT (cùng góc nội tiếp)
Góc MOE = góc MTE (góc chắn cung MT trên đường tròn (O))

Do đó, tứ giác MOTE là tứ giác có hai cặp góc đối nhau bằng nhau, từ đó suy ra tứ giác MOTE là tứ giác điều hòa. (1)

Tiếp theo, ta sẽ chứng minh MH·MO = MD·ME.

Vì tứ giác MNOP là tứ giác nội tiếp, nên ta có:
Góc M MOP (cùng góc nội tiếp)
Góc MOE = góc MEO (góc chắn cung ME trên đường tròn (O))

Từ đó, ta có:
Góc MON - góc MOE = góc MOP - góc MEO
Góc H P

EO

Vì tứ giác MOTE là tứ giác điều hòa (theo (1)), nên ta có:
Góc MOT = góc EOT

Từ đó, ta có:
Góc HOM = góc EOM

Do đó, tứ giác HMO và EMO có hai cặp góc đối nhau bằng nhau, từ đó suy ra tứ giác HMO và EMO tương tự nhau (theo góc-góc).

Vì vậy, ta có MH/MO = ME/MO = MD/MT (do tứ giác MOTE là tứ giác điều hòa).

Tương tự, ta có MH/MO = MD/MT = MD/ME.

Do đó, ta có MH·MO = MD·ME. (2)

Cuối cùng, ta chứng minh IA + KB > AB.

Qua điểm O kẻ đường thẳng vuông góc với OM cắt MN tại A và cắt MP tại B. Vì đường thẳng này là đường thẳng vuông góc với OM, nên ta có góc AOM = góc BOM = 90 độ.

Vì tứ giác MNOP là tứ giác nội tiếp, nên góc M MOP = 90 độ.

Từ đó, ta có góc H POM = 90 độ.

Vì vậy, tứ giác HONA và BOMP là tứ giác có ba góc vuông (góc H POM = 90 độ), từ đó suy ra tứ giác HONA và BOMP là tứ giác có tứ giác điều hòa.

Áp dụng bất đẳng thức tam giác trong tứ giác HONA và BOMP, ta có:
HA + AN > HN
HB + BP > HP

Cộng hai bất đẳng thức trên, ta được:
HA + AN + HB + BP > HN + HP

Do đó, ta có IA + KB > AB.

Vậy ta đã chứng minh được cả hai khẳng định.