a) Để rút gọn biểu thức P, ta sẽ tìm chung mẫu số chung và tính toán tổng các phân số.
Đặt A = √x / (√x+2),
B = √x / (√x-2), vàC = 8 / (x - 4).

Khi đó, P = A - B + C.

Để tìm chung mẫu số chung, nhân mỗi phân số với mẫu số của phân số còn lại, ta có:
A = (√x / (√x+2)) * (√x-2) / (√x-2) = √x(√x-2) / (x - 2)
B = (√x / (√x-2)) * (√x+2) / (√x+2) = √x(√x+2) / (x + 2)

Khi đó, P = (√x(√x-2) / (x - 2)) - (√x(√x+2) / (x + 2)) + C.

ta có:
A = (√x(√x-2) / (x - 2)) * (x + 2) = √x(√x-2)(x + 2) / (x - 2)(x + 2) = √x(√x-2)(x + 2) / (x^2 - 4)
B = (√x(√x+2) / (x + 2)) * (x - 2) = √x(√x+2)(x - 2) / (x + 2)(x - 2) = √x(√x+2)(x - 2) / (x^2 - 4)

Khi đó, P = (√x(√x-2)(x + 2) / (x^2 - 4)) - (√x(√x+2)(x - 2) / (x^2 - 4)) + C.

Đơn giản hóa biểu thức P, ta có:
P = (√x(√x-2)(x + 2) - √x(√x+2)(x - 2)) / (x^2 - 4) + C
= (√x(x^2 - 4) - √x(x^2 - 4)) / (x^2 - 4) + C
= 0 + C = C

Vậy, biểu thức P đã được rút gọn thành P = C.

b) Để tìm tất cả các giá trị của x để P = -1/2, ta sẽ giải phương trình C = -1/2. Với C = 8 / (x - 4), ta có: 8 / (x - 4) = -1/2

Nhân cả hai vế của phương trình với (x - 4), ta có: 8 = -1/2 * (x - 4) 8 = -1/2x + 2

Đưa -1/2x về phía trái và 8 về phía phải: -1/2x = 8 - 2 -1/2x = 6

Nhân cả hai vế của phương trình với -2, ta có: x = -2 * 6 x = -12

Vậy, giá trị duy nhất của x để P = -1/2 là x = -12.