a) Tứ giác BCDE là hình bình hành.

Vì AM là trung tuyến của tam giác ABC, ta có AM cắt BC ở điểm N sao cho BN = NC (do trung tuyến chia đôi cạnh đối). Khi đó, ta có AN = NC.

Do đó, phân giác góc AMB cắt AB tại điểm E chính là đường trung tuyến AN của tam giác ABC. Vì AN = NC, nên ta có AE = EB.

Tương tự, phân giác góc AMC cắt AC tại điểm D cũng chính là đường trung tuyến AM của tam giác ABC. Vì AM chia đôi cạnh đối BC, nên ta có AD = DC.

Vậy, ta có AE = EB và AD = DC, suy ra tứ giác BCDE là hình bình hành.

b) Giả sử ME = MD.

Vì AM là trung tuyến của tam giác ABC, nên ta có BN = NC (do trung tuyến chia đôi cạnh đối).

Ta có ME = MD, do đó góc MED = góc MDE.

Vì E là điểm thuộc phân giác góc AMB và D là điểm thuộc phân giác góc AMC, nên góc MED = góc MDE = góc BAM = góc CAM.

Vậy ta có góc BAM = góc CAM, tức tam giác ABC là tam giác cân.

c) Vì tam giác ABC là tam giác cân, ta có BM là đường trung tuyến, do đó BM = BC/2 = 16/2 = 8 cm.

Vì CD/DA = 3/5, ta có CD = (3/8) * BC = (3/8) * 16 = 6 cm và DA = (5/8) * BC = (5/8) * 16 = 10 cm.

Vì ME = MD, ta có ME^2 = MD^2.

Vì tam giác ABC là tam giác cân, ta có góc BAM = góc CAM, do đó góc BAE = góc CAD.

Áp dụng định lý cosin trong tam giác ABE và tam giác ACD, ta có:
AB^2 = AE^2 + BE^2 - 2 * AE * BE * cos(BAE)
AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 * AD * CD * cos(CAD)

Vì AE = EB và AD = DC, ta có:
AB^2 = 2 * AE^2 - 2 * AE^2 * cos(BAE)
AC^2 = 2 * AD^2 - 2 * AD^2 * cos(CAD)

Vì góc BAE = góc CAD, ta có cos(BAE) = cos(CAD), nên ta có:
AB^2 = 2 * AE^2 - 2 * AE^2 * cos(BAE)
AC^2 = 2 * AD^2 - 2 * AD^2 * cos(BAE)

Vì AB = AC, ta có:
2 * AE^2 - 2

 * AE^2 * cos(BAE) = 2 * AD^2 - 2 * AD^2 * cos(BAE)

Simplifying the equation:
AE^2 = AD^2

Since ME = MD, we have ME^2 + MD^2 = 2 * ME^2

Therefore, ME^2 + MD^2 = 2 * AE^2 = 2 * AD^2.

So, ME^2 + MD^2 = 2 * AD^2.