Để chứng minh PQ = PA, ta sẽ sử dụng các tính chất của các hình học trong đề bài.

Đầu tiên, ta biết rằng AB và AC là hai tiếp tuyến của đường tròn (O). Vì vậy, theo tính chất tiếp tuyến, góc BAO và góc CAO đều vuông.

Ta cũng biết rằng M và N là trung điểm của AB và AC. Vì vậy, ta có AM = MB và AN = NC.

Tiếp theo, ta xét tam giác AOM và AON. Ta có:

AO là cạnh chung.
AM = MB và AN = NC (do M và N là trung điểm).
Góc OAM và góc OAN là góc vuông (do AB và AC là tiếp tuyến).

Do đó, ta có hai tam giác AOM và AON là hai tam giác đồng dạng (qua bài toán tam giác cân góc).

Vì tam giác đồng dạng, ta có tỉ số giữa các cạnh tương ứng bằng nhau:

PQ / PA = ON / OA = AM / AO

Vì AM = MB và AO là cạnh chung của tam giác AOM và AON, ta có:

AM / AO = MB / AO = 1/2

Vậy ta có PQ / PA = 1/2. Điều này đồng nghĩa với PQ = PA.

Do đó, đã chứng minh được PQ = PA.