1. Chứng minh AM . AE = AN . AF:

Vì AM > MB và điểm M, N nằm trên đường tròn (O; R) nên ta có:

AO = BO = R (bán kính của đường tròn)
AM - MB = 2R

Gọi I là giao điểm của đường thẳng MN và đường thẳng trung trực của AB. Ta có:

AI = BI = R (vì AB là đường kính của đường tròn)

Do đó, tam giác AIB là tam giác đều.

Theo định lý cung đối, ta có:

∠AME = ∠ABE = ∠AIB = 60°
∠ANF = ∠ABF = ∠AIB = 60°

Từ đó, ta có:

∠AME + ∠ANF = 120°

Vì MNFE là tứ giác nội tiếp, nên tổng hai góc MNE và MFE bằng 180°.

Từ đó, ta có:

∠MNE + ∠MFE = 180°
∠MNE = 180° - ∠MFE
∠MNE = ∠AME + ∠ANF = 120°

Do đó, hai tam giác AME và ANF đồng dạng.

Áp dụng định lý đồng dạng tam giác, ta có:

AM/AN = AE/AF

Từ đó, ta có:

AM . AE = AN . AF

Vậy, ta đã chứng minh được AM . AE = AN . AF.

2. Chứng minh MNFE là tứ giác nội tiếp:

Vì MNFE là tứ giác có hai cặp góc đối nhau cùng bằng 90° (do EF là tiếp tuyến và MN là đường chéo), nên MNFE là tứ giác nội tiếp.

3. Chứng minh KE . KF = KB và EHF = 90°:

Vì MNFE là tứ giác nội tiếp, nên ta có:

∠KME = ∠KNE = ∠KFE = ∠KMF = 90°

Do đó, tam giác KEF và KMF là tam giác vuông.

Vì ∠KME = 90°, nên KM là đường cao của tam giác KEF.

Do đó, ta có:

KE . KF = KM^2 = KB^2

Vậy, ta đã chứng minh được KE . KF = KB và EHF = 90°.