a. Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp: Vì AB và AC là hai tiếp tuyến của đường tròn (O), nên theo tính chất tiếp tuyến và góc cung nửa, ta có góc BAC = góc BOC.

Tương tự, do BM || AC và góc BAC = góc BMA (do BM song song với AC), ta có góc BMA = góc BOC.

Do đó, tứ giác ABOC có hai góc BAC và BMA bằng nhau, tức là tứ giác ABOC nội tiếp.

b. Chứng minh K4 = KB.KN: Ta có tứ giác ABOC nội tiếp, nên theo tính chất tứ giác nội tiếp, ta có: KB.KN = KO^2 - BO^2

Vì OA = 3R, nên OB = OC = R. Vì vậy: KB.KN = KO^2 - BO^2 = (2R)^2 - R^2 = 4R^2 - R^2 = 3R^2 = K4

Vậy KB.KN = K4.

c. Chứng minh K là trung điểm AC, tính độ dài đoạn thẳng AK theo R: Ta biết rằng tứ giác ABOC là tứ giác nội tiếp, nên góc BAC = góc BOC (tính chất của tứ giác nội tiếp).

Vì BM || AC và góc BAC = góc BMA, nên ta có: góc BMA = góc BAC = góc BOC

Do đó, tứ giác ABMC là tứ giác hình vuông.

Khi đó, ta có AK = 2AM (do K là trung điểm AC và M là điểm trên đường tròn (O)).

Vì BM || AC và BM = 2R (do ABMC là tứ giác hình vuông), nên AM = MC = R.

Từ đó, ta có AK = 2AM = 2R.

Vậy độ dài đoạn thẳng AK là 2R.

d. Tiếp tuyến tại M, N của (O) cắt nhau tại E. Chứng minh E, B, C thẳng hàng: Vì BM || AC và N là giao điểm thứ hai của đường thẳng AM và đường tròn (O), nên theo tính chất đường tiếp tuyến, ta có góc MEN = góc MAC.

Tương tự, ta có góc MEN = góc MCN.

Vì vậy, góc MAC = góc MCN.

Nhưng tứ giác ABOC nội tiếp, nên góc MAC = góc MBC.

Vậy, ta có góc MBC = góc MCN.

Do đó, B, E, C thẳng hàng (vì chúng đều nằm trên cùng một đường thẳng MNC).