1. Để chứng minh tứ giác MIEG nội tiếp trong một đường tròn, ta cần chứng minh góc MIE và góc MGE là góc đối nhau.

Vì EG là đường thẳng vuông góc với EF, và EM là tiếp tuyến tại M của nửa đường tròn, nên góc MEG là góc vuông.

Tương tự, vì IG là tiếp tuyến tại I của nửa đường tròn, nên góc MIE cũng là góc vuông.

Vì cả hai góc MIE và MGE đều là góc vuông, nên tứ giác MIEG là tứ giác nội tiếp trong một đường tròn.

1. Để chứng minh GL · EN = EM · GJ, ta sử dụng tính chất của tiếp tuyến và dây cắt gọi qua cùng một điểm trên đường tròn.

Theo tính chất tiếp tuyến, ta có: GL · GM = GI² và GJ · GN = GM².

Vì tứ giác MIEG nội tiếp trong một đường tròn (đã chứng minh ở câu 1), nên GI = GM và GJ = GN.

Từ đó, ta có: GL · GM = GI² = GM² = GJ · GN.

Vì GL · GM = GJ · GN, nên ta có GL · EN = EM · GJ.