a) Để chứng minh tứ giác BDHF nội tiếp, ta cần chứng minh góc BHF và góc BDF cùng nằm trên cùng một đường tròn.

Ta có: Góc BHF là góc giữa hai đường cao BH và HF của tam giác ABC. Góc BDF là góc giữa hai đường cao BD và DF của tam giác ABC.

Vì H là giao điểm của các đường cao, nên ta có: Góc BHF = Góc BHD + Góc DHF (1) Góc BDF = Góc BDH + Góc DHF (2)

Từ (1) và (2), ta thấy góc BHF = góc BDF.

Vậy tứ giác BDHF nội tiếp.

b) Để chứng minh AM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác MHD, ta cần chứng minh góc AMH = góc MDH.

Ta có: Góc AMH là góc giữa đường tiếp tuyến AM và đường cao MH của tam giác MHD. Góc MDH là góc giữa đường tiếp tuyến MD và đường cao MH của tam giác MHD.

Vì H là giao điểm của các đường cao, nên ta có: Góc AMH = Góc MHA + Góc HAM (3) Góc MDH = Góc MDH + Góc HDM (4)

Từ (3) và (4), ta thấy góc AMH = góc MDH.

Vậy AM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác MHD.