Để chứng minh rằng M = 9x5^(2n) + 6x2^(2n + 1) + 42 chia hết cho 21 với mọi n thuộc Z, ta cần chứng minh rằng M chia hết cho 21.

Giả sử M không chia hết cho 21, tức là M không là bội của 21. Ta xét ba phần tử của M một cách riêng lẻ:

1. 9x5^(2n): Phần này không chia hết cho 21 với mọi n thuộc Z vì 9 không chia hết cho 21.

2. 6x2^(2n + 1): Phần này không chia hết cho 21 với mọi n thuộc Z vì 6 không chia hết cho 21.

3. 42: Phần này chia hết cho 21.

Vì M = 9x5^(2n) + 6x2^(2n + 1) + 42, và hai phần tử đầu tiên không chia hết cho 21, nên tổng M cũng không chia hết cho 21.

Do đó, giả thuyết ban đầu là sai và ta kết luận rằng M = 9x5^(2n) + 6x2^(2n + 1) + 42 chia hết cho 21 với mọi n thuộc Z.