a) Ta có tam giác ABC cân tại A, nghĩa là AB = AC. Vì BH vuông góc với AC và CK vuông góc với AB, nên ta có:

∠BHA = ∠BAC = ∠CAK (góc vuông cân)
∠BHC = ∠CAB = ∠BAK (góc vuông cân)

Do đó, tam giác AKH có hai góc BAK và BHA bằng nhau, nên nó là tam giác cân.

b) Gọi I là giao điểm của BH và CK. Ta cần chứng minh rằng IM là đường phân giác của góc BIC.

Vì ∠HBI = ∠HCI = 90° (góc vuông) và AI là đường cao trong tam giác ABC, nên ta có:
∠HBA = ∠HCA (góc đối)
∠HBI = ∠HCI (góc vuông)
=> Hai tam giác HBI và HCI đồng dạng (theo góc-góc-góc)

Do đó, ta có tỉ số bên của tam giác BIC:

HB/HC = BI/CI

Vì tỉ số bên của hai tam giác đồng dạng là như nhau, ta có:
HB/BI = HC/CI

Áp dụng định lí phân giác trong tam giác ABC, ta có:
BM/MI = HC/CI

Vậy, ta đã chứng minh được rằng IM là đường phân giác của góc BIC.

c) Để chứng minh HK//BC, ta cần chứng minh rằng tỉ số đường cao HK và BC trong tam giác ABC là như nhau.

Áp dụng định lí đường cao trong tam giác ABC, ta có:
HK/BC = (AK sin ∠BAK)/(AC sin ∠CAB)

Vì tam giác ABC cân tại A, nên ∠BAK = ∠CAK. Do đó:
HK/BC = (AK sin ∠CAK)/(AC sin ∠CAK)

Simplifying, we have:
HK/BC = AK/AC

Vì tam giác AKH cân và tam giác ABC cân tại A, nên AK = AC. Do đó:
HK/BC = 1

Vậy ta đã chứng minh được HK//BC.