Để tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc, ta cần tính diện tích của đồ thị vận tốc theo thời gian trong khoảng thời gian đó.

Trước khi tính, ta cần xác định phương trình vận tốc v(t) của vật. Vận tốc v(t) là tích phân của gia tốc a(t) theo thời gian:
v(t) = ∫(3t + t^2) dt = (3/2)t^2 + (1/3)t^3 + C

Tiếp theo, ta tính vận tốc ban đầu của vật (v_0) khi bắt đầu tăng tốc. Ta đã biết vận tốc ban đầu là 10 m/s, do đó:
10 = (3/2)(0)^2 + (1/3)(0)^3 + C
10 = C

Vậy phương trình vận tốc v(t) là:
v(t) = (3/2)t^2 + (1/3)t^3 + 10

Để tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây, ta tính diện tích của đồ thị vận tốc từ thời điểm t=0 đến t=10:
S = ∫[0,10] (3/2)t^2 + (1/3)t^3 + 10 dt
   = [(1/2)t^3 + (1/12)t^4 + 10t] [0,10]
   = (1/2)(10)^3 + (1/12)(10)^4 + 10(10) - [(1/2)(0)^3 + (1/12)(0)^4 + 10(0)]
   = 500 + 833.33 + 100
   = 1433.33 m

Vậy quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 10 giây là 1433.33 m.

1. Tính vận tốc v của vật sau thời gian t:

Vận tốc là tích phân của gia tốc theo thời gian. Gia tốc a(t) = 3t + t². Vậy vận tốc v(t) sẽ là tích phân của a(t):

v(t) = ∫a(t) dt = ∫(3t + t²) dt

Áp dụng quy tắc tích phân, ta được:

v(t) = 1.5t² + (1/3)t³ + C

Trong đó C là hằng số tích phân. Vì vận tốc ban đầu của vật là 10 m/s, nên C = 10.

Vậy vận tốc v của vật sau thời gian t là:

v(t) = 1.5t² + (1/3)t³ + 10

2. Tính quãng đường s mà vật đi được trong thời gian t:

Quãng đường là tích phân của vận tốc theo thời gian. Vậy quãng đường s(t) sẽ là tích phân của v(t):

s(t) = ∫v(t) dt = ∫(1.5t² + (1/3)t³ + 10) dt

Áp dụng quy tắc tích phân, ta được:

s(t) = 0.5t³ + (1/12)t⁴ + 10t + D

Trong đó D là hằng số tích phân. Vì vật bắt đầu tăng tốc từ vị trí ban đầu, nên D = 0.

Vậy quãng đường s mà vật đi được sau thời gian t là:

s(t) = 0.5t³ + (1/12)t⁴ + 10t

3. Tính quãng đường s mà vật đi được trong 10 giây:

Thay t = 10 (giây) vào công thức trên, ta có:

s(10) = 0.5*10³ + (1/12)*10⁴ + 10*10 =1433.33 m