Để giải quyết các câu hỏi trên, ta sẽ sử dụng các đặc điểm và tính chất của các hình học trong đề bài:

1. Chứng minh tứ giác APMO nội tiếp:
- Ta có AM là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại điểm M (do M là điểm tiếp xúc của tiếp tuyến từ P).
- Vì Ax là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên góc MAB = 90 độ (góc giữa tiếp tuyến và bán kính tại điểm tiếp xúc).
- Do đó, tứ giác APMO có 3 góc vuông (góc MAB, góc MBA, góc MAO) và 1 góc bằng 180 - 90 - 90 = 0 độ.
- Vậy tứ giác APMO nội tiếp được một đường tròn.

2. Chứng minh BM // OP:
- Vì AM là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên góc MAB = 90 độ.
- Từ (1), ta có tứ giác APMO nội tiếp nên góc AOM = 180 - góc MAO.
- Tương tự, ta có góc BMO = 180 - góc MBA.
- Do đó, góc AOM + góc BMO = (180 - góc MAO) + (180 - góc MBA) = 360 - (góc MAO + góc MBA) = 360 - 90 = 270 độ.
- Ta cũng biết góc AOB = 90 độ (góc ở tâm đường tròn lớn).
- Vì tổng các góc trong tam giác là 180 độ, nên góc AMB = 180 - (góc AOB + góc AOM + góc BMO) = 180 - (90 + 270) = 180 - 360 = 0 độ.
- Vậy góc AMB = 0 độ, tức là BM song song với OP.

3. Chứng minh tứ giác OBNP là hình bình hành:
- Vì BM song song với OP (đã chứng minh ở câu 2), nên góc OBM = góc POM.
- Ta cũng biết góc MOB = góc MAB (vì MB là tiếp tuyến của đường tròn (O)).
- Từ (1), ta có góc MBA = 90 độ.
- Do đó, góc OBM + góc MOB + góc MBA + góc ABM = góc POM + góc MAB + 90 + 90 = 360 (tổng các góc trong một hình bình hành).
- Vậy tứ giác OBNP là hình bình

 hành.

4. Chứng minh I, J, K thẳng hàng:
- Ta biết PN và OM kéo dài cắt nhau tại J, nên góc JOM = góc MNP.
- Từ (1), ta có góc MBA = 90 độ và góc NAB = 90 độ.
- Do đó, góc JOM + góc MNP + góc PNB + góc BAN = 90 + 90 + 90 + 90 = 360 độ (tổng các góc trong một tứ giác).
- Vậy tứ giác OBNP có tổng các góc là 360 độ, tức là J, K, I thẳng hàng.

Tóm lại, qua các chứng minh trên, ta đã chứng minh được các điều kiện và tính chất của các hình trong đề bài.

1. Để chứng minh tứ giác APMO nội tiếp, ta cần chứng minh hai góc AMO và APO cùng bằng 90 độ.

Vì AP là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên góc APO bằng 90 độ.

Ta biết rằng MP là tiếp tuyến của đường tròn (O), nên góc MPO cũng bằng 90 độ.

Vậy tứ giác APMO nội tiếp đường tròn.

2. Để chứng minh BM // OP, ta cần chứng minh hai góc BMP và BOP bằng nhau.

Vì AP là tiếp tuyến của đường tròn, nên góc BAP bằng góc BMP (góc tiếp tuyến - tiếp tuyến).

Tương tự, góc BPA bằng góc BOP (góc tiếp tuyến - tiếp tuyến).

Vì vậy, góc BMP = góc BOP, từ đó suy ra BM // OP.

3. Đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt tia BM tại N.

Vì OB vuông góc với AB, nên góc độ.

Vì BM // OP (đã chứng minh ở trên), nên góc BOP = góc MON (góc đồng quy).

Do đó, góc M BOP = 90 độ.

Vậy tứ giác OBNP là hình bình hành.

4. Biết AN cắt OP tại K, PM cắt ON tại I, PN và OM kéo dài cắt nhau tại J.

Ta cần chứng minh rằng I, J, K thẳng hàng.

Vì tứ giác OBNP là hình bình hành, nên OB = PN và />
Vậy, tứ giác PONB là tứ giác cân, suy ra góc P PNB.

Tương tự, tứ giác MBOP là tứ giác cân, suy ra góc BOP = góc BMO.

Vì góc BOP = góc BMP (đã chứng minh ở bước 2), nên góc BMO = góc BMP.

Do đó, tứ giác MBPO là tứ giác cân, suy ra OB = MP.

Vậy, OB = MP = PN.

Từ đó, suy ra tứ giác PONB là hình thang cân.

Vì PN là đường cao của tam giác POM, nên góc OPN = góc OMP.

Tương tự, góc OPM.

Vì tứ giác POMN là tứ giác điều hòa, nên cặp góc ION

 và JOM bằng nhau.

Vậy, I, J, K thẳng hàng theo định lý Menelaus.

Tóm lại, ta đã chứng minh được các phần trên.