Để chứng minh rằng H là trực tâm của tam giác ASM, ta cần chứng minh rằng AH vuông góc với SM.

Ta biết rằng trong tam giác ABC, đường cao AH là đường vuông góc với đáy BC. Do đó, ta có:
∠BAH = 90° và ∠CAH = 90°.

Giả sử ta gọi I là giao điểm của EF và AH. Ta cần chứng minh rằng I nằm trên đoạn thẳng SM, tức là AI // BC.

Do M là trung điểm của BC, ta có AM = MC.

Ta biết rằng BE và CF là đường cao trong tam giác ABC, do đó BE ⊥ AC và CF ⊥ AB. Từ đó, ta có ∠BAF = ∠CAE (cùng là góc vuông).

Xét tam giác FIE và BIA, ta có:
∠FIE = ∠BIA (cùng là góc vuông)
∠FEI = ∠ABI (cùng là góc nhọn, bằng nhau)
∠EAI = ∠FBI (cùng là góc nhọn, bằng nhau)

Do đó, theo góc giữa các đường thẳng song song, ta có AI // BC.

Vì AI // BC, và M là trung điểm của BC, ta có AI cắt SM tại một điểm, gọi là I.

Vậy ta đã chứng minh rằng I nằm trên đoạn thẳng SM.

Tiếp theo, vì H là giao điểm của AD và BE, ta có AH ⊥ BE.

Vì AI // BC và AH ⊥ BE, theo tính chất của các đường cao trong tam giác, ta có AH vuông góc với SM tại điểm H.

Vậy, H là trực tâm của tam giác ASM.

Tóm lại, ta đã chứng minh rằng H là trực tâm của tam giác ASM.