Để chứng minh MH.MK = MC.MD, ta sẽ sử dụng định lý Euclid về tiếp tuyến và các quan hệ đồng dạng.

Đầu tiên, ta cần chứng minh ABCD là tứ giác nội tiếp. Ta biết rằng hai tiếp tuyến MA và MB là tiếp tuyến chung của đường tròn (O), vì vậy theo định lý Euclid, góc AMB bằng góc ACB. Tương tự, ta cũng có góc BMA = BDA. Do đó, tứ giác ABCD có hai góc đối ngược bằng nhau và là tứ giác nội tiếp. 

Tiếp theo, ta chứng minh ACH và BCH đồng dạng. Đầu tiên, ta có góc MCA = MCB bởi vì MA và MB là hai tiếp tuyến từ M đến đường tròn (O). Tương tự, ta cũng có góc MHC = MHA. Vì vậy, hai tam giác MCA và MCB có hai góc bằng nhau và cạnh chung MC. Theo quy tắc đồng dạng của tam giác, ta có ACH đồng dạng với BCH.

Do đó, tứ giác ABCD và các tam giác ACH, BCH đồng dạng. Chúng ta có thể viết tỷ số các cạnh tương ứng là:

AC/BC = AH/BH = CH/HB.

Bởi vì H là trung điểm của CD, ta có CH = HB, vì vậy tỷ số trên có thể viết lại thành:

AC/BC = AH/HB.

Bây giờ, ta sẽ xem xét tam giác MHC và MDC. Vì H là trung điểm của CD, ta có MH là đường cao của tam giác MDC. Do đó, tỷ số các đường cao trong tam giác MHC và MDC là:

MH/MD = CH/CD.

Từ định lý Euclid về tiếp tuyến, ta biết rằng các góc đối nhau trong tứ giác nội tiếp ABCD bằng nhau. Vì vậy, góc CMA = góc CBA và góc MCA = góc MBA. Điều này có nghĩa là tam giác MCA và MCB đồng dạng. Do đó, tỷ số các cạnh trong hai tam giác này cũng bằng nhau:

MC/MA = MB/MC.

Từ tỷ số trên, ta có MC^2 = MA.MB.

Thay MC^2 vào tỷ số trên, ta có:

MH/MD = CH/CD = (MC^2 - MH^2)/(MC^2 + MH^2).

Từ đây, ta có:

MH.MD = (MC^2 - MH^

2)/(MC^2 + MH^2) * MD.

Từ tỷ số trên, ta thấy rằng tử số và mẫu số của tỷ số là hai khối lượng của MC^2 và MH^2. Do đó, ta có:

MH.MD = (MC^2 - MH^2)/(MC^2 + MH^2) * MD = (MC^2 * MD - MH^2 * MD)/(MC^2 + MH^2) = MC.MD.

Như vậy, ta đã chứng minh được rằng MH.MK = MC.MD.