a) Chứng minh tứ giác AEHF và BFEC nội tiếp:

Vì AD là đường cao của tam giác ABC, nên ta có:
∠BAF = ∠CAF = 90° (1)
∠CAE = ∠BAE = 90° (2)

Từ (1) và (2), ta suy ra tứ giác AEHF và BFEC là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh AOMN là hình bình hành:

Vì M là trung điểm của BC, N là trung điểm của AH, nên ta có:
MN || AH và MN = 1/2 * AH (vì M và N là trung điểm)

Vì AD là đường cao của tam giác ABC, nên ta có:
∠AHD = ∠AED = 90°

Vì MN || AH, nên ta có:
∠MND = ∠AHD = 90°

Vậy, ta có:
∠MND = ∠MNO + ∠ (3)

Tương tự, ta cũng có:
∠OMN = ∠ADN = 90° (4)

Từ (3) và (4), ta suy ra:
∠MNO = ∠OMN = 90°

Vì ∠MNO = ∠OMN = 90°, nên ta kết luận AOMN là hình bình hành.

c) Chứng minh MF là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác SDF:

Ta biết tứ giác AEHF và BFEC là tứ giác nội tiếp. Do đó:
∠HEF = ∠HAF và ∠HFE = ∠HCE

Vậy, ta có:
∠HAF = ∠HEF = ∠HCE

Như vậy, ta có các cặp góc đồng nhất:
∠HAF = ∠HCE và ∠AFH = ∠ECH

Do đó, ta suy ra:
∆HAF ~ ∆HEC

Từ đó, ta có:
∠HMF = ∠HAF = ∠HEC = ∠HDF

Vậy, MF là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác SDF.