a) Biểu diễn mỗi số hạng trong tổng Sn theo số hạng đầu u1 và công sai d:

Cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1 và công sai d. Vậy ta có:
u2 = u1 + d
u3 = u2 + d = u1 + d + d = u1 + 2d
u4 = u3 + d = u1 + 2d + d = u1 + 3d
...
un = u1 + (n-1)d

b) Viết Sn theo thứ tự ngược lại:

Sn = un + un-1 + ... + u2 + u1

Theo phần a), ta biết:
un = u1 + (n-1)d
un-1 = u1 + (n-2)d
...
u2 = u1 + d
u1 = u1

Thay vào biểu thức Sn, ta có:
Sn = (u1 + (n-1)d) + (u1 + (n-2)d) + ... + (u1 + d) + u1

c) Cộng từng vế hai đẳng thức nhận được ở a), b), để tính Sn theo u1 và d:

Ở phần a), ta có:
u2 + u3 + ... + un-1 + un = (u1 + d) + (u1 + 2d) + ... + (u1 + (n-1)d)

Ở phần b), ta có:
un + un-1 + ... + u3 + u2 + u1 = (u1 + (n-1)d) + (u1 + (n-2)d) + ... + (u1 + d) + u1

Cộng từng vế của hai đẳng thức trên, ta được:
Sn + Sn = [(u1 + d) + (u1 + (n-1)d)] + [(u1 + 2d) + (u1 + (n-2)d)] + ... + [(u1 + (n-1)d) + (u1 + d)] + [u1 + u1]
2Sn = [(2u1 + (n-1)d) + (2u1 + (n-1)d)] + [(2u1 + (n-1)d) + (2u1 + (n-1)d)] + ... + [(2u1 + (n-1)d) + (2u1 + (n-1)d)] + [2u1]
2Sn = [2u1 + (n-1)d] + [2u1 + (n-1)d] + ... + [2u1 + (n-1)d] + [2u1]

Simplifying:
2Sn = n[2u1 + (n-1)d]
Sn = n/2 [2u1 + (n-1)d]

Vậy, ta đã tính được tổng Sn theo u1 và d là Sn = n/2 [2u1 + (n-1)d].