Gọi O là tâm đường tròn (O) nội tiếp tam giác PKI. Ta có:

• Vì MN là đường kính của đường tròn (O), nên góc MIN = 90 độ.
• Góc PJI bằng một nửa góc PNJ (do PQ là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại P).
• Góc PJN bằng góc PMJ (cùng chắn cung PN trên đường tròn (O)).
• Góc PMJ bằng góc PKI (cùng nằm trên đường thẳng MJ).
• Góc PKI bằng góc POI (cùng nằm trên đường thẳng PI).
• Góc POI bằng góc PJI (cùng nằm trên đường thẳng PI).

Từ các tính chất trên, suy ra:

• Góc PJN bằng góc POI.
• Tam giác PJN đồng dạng với tam giác PIO.
• Vậy, $\frac{PJ}{PN}=\frac{PI}{PO}$.

Ta có:

• Góc JMN bằng góc JPN (cùng chắn cung JP trên đường tròn (O)).
• Góc JPN bằng góc JHQ (do PQ vuông góc MN tại I).
• Góc JHQ bằng góc JMG (do MHQG là hình chữ nhật).
• Góc JMG bằng góc JNM (cùng nằm trên đường thẳng MJ).

Từ các tính chất trên, suy ra:

• Góc JMN bằng góc JNM.
• Tam giác JMN là tam giác cân tại J.
• Vậy, JM = JN.

Áp dụng định lí Thales cho tam giác JMN, ta có:

• $\frac{JH}{JQ}=\frac{JM}{JN}=1$.
• Vậy, JH = JQ.

Ta có:

• Góc JHG bằng góc JQM (do HG // PQ).
• Góc JQM bằng góc JNM (cùng nằm trên đường thẳng MJ).

Từ các tính chất trên, suy ra:

• Góc JHG bằng góc JNM.
• Tam giác JHG đồng dạng với tam giác JNM.
• Vậy......