1) Ta có $\angle DHC = \angle EHB = 90^\circ$, nên tứ giác $DHEC$ là tứ giác nội tiếp. Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp của tứ giác $DHEC$. Ta có $\angle DOC = 2\angle DEC = 2\angle DHC = 2(90^\circ - \angle A) = 180^\circ - 2\angle A$, nên $O$ nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

2) Ta có $\angle CIN = \angle CEN = \angle CEM = \angle CDM = \angle CDN$, nên tứ giác $CIND$ là tứ giác nội tiếp. Do đó, ta có $NI\cdot ND = NE\cdot NC$.

3) Ta có $\angle KOG = \angle KMG = 90^\circ$, nên $KOMG$ là tứ giác nội tiếp. Từ đó, ta có $\angle KMN = \angle KMG = \angle KOG = \angle KCB$, nên $MN\parallel AB$.

Gọi $P$ là giao điểm của $EF$ và $BC$. Ta có $\angle HPM = \angle HPE = \angle HCE = \angle HCB$, nên $HP\parallel AB$. Từ đó, ta có $MN\parallel HP\parallel AB$.

Gọi $Q$ là giao điểm của $HM$ và $BC$. Ta có $\angle QMN = \angle QCB = \angle QHB$, nên $QH\parallel MN$. Từ đó, ta có $H$, $T$, $G$ thẳng hàng vì $Q$, $T$, $G$ đều nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

Vậy, ta đã chứng minh được các phần cần chứng minh.