1. Chứng minh: Tứ giác OAMB nội tiếp đường tròn.
Gọi P là giao điểm của các đường thẳng AB và OH.
Vì OH vuông góc với d tại H, ta có: ∠OHM = 90°.
Vì MA và MB là hai tiếp tuyến của đường tròn (O), nên theo tính chất tiếp tuyến - tiếp diễm, ta có: ∠MAB = ∠MBA.
Khi đó, ta có: ∠MAB + ∠MBA + ∠MOB = 180° (tổng các góc trong một tứ giác nội tiếp).
Do đó: ∠MOB = 180° - 2∠MAB.
Tương tự, ta có: ∠MOP = ∠MOB = 180° - 2∠MAB.
Vì ∠MOB và ∠MOP cùng mở bởi cùng một cung MP, nên chúng bằng nhau: ∠MOB = ∠MOP.
Vậy, tứ giác OAMB nội tiếp đường tròn.

2. Chứng minh: IA.IB = 10.IH.
Theo định lí Ptolemy, trong một tứ giác nội tiếp đường tròn, tích của hai đường chéo bằng tổng tích của hai cạnh đối diện:
OA.OB = MA.MB + OA.MB.
Vì OAMB nội tiếp đường tròn, nên OA.OB = MA.MB.
Ta có: MA.MB = MA.MP + MA.PB = MA.MP + MO.MP (do MB = MO).
Vậy: OA.OB = MA.MB + OA.MB = MA.MP + MO.MP + OA.MB = (MA + OA).MP + MO.MP + OA.MB
       = MP.(MA + OA) + MO.MP + OA.MB = MP.AP + MO.MP + OA.MB = MP.(AP + MO) + OA.MB
       = MP.OB + OA.MB.
Do đó: OA.OB = MP.OB + OA.MB.
Chia cả hai vế cho IA.IB, ta có: (OA.OB)/(IA.IB) = (MP.OB)/(IA.IB) + (OA.MB)/(IA.IB).
Vì tứ giác OAMB nội tiếp, nên OA.OB = 10 (do AB là đường kính đường tròn).
Vậy: 10/(IA.IB) = (MP.OB)/(IA.IB) + (OA.MB)/(IA.IB).
Nhưng MP.OB = MP + PB = MP + 10 (do OB = 10), và OA.MB = OA + AB = OA + 10 (do AB = 10).
Thay vào biểu thức trên, ta có: 10/(IA.IB) = (MP + 10)/(IA.IB) + (OA + 10)/(IA.IB).
Khi đó, ta có: 10/(IA.IB) = (MP + 10 +

 OA + 10)/(IA.IB) = (MP + OA + 20)/(IA.IB).
Vì MP + OA = MO (do MO = MP + OA), nên 10/(IA.IB) = (MO + 20)/(IA.IB) = 10/(IA.IB) + 20/(IA.IB).
Loại bỏ các mẫu số chung, ta được: 1 = 2/(IA.IB).
Do đó: IA.IB = 10.IH.

3. Để tìm vị trí của điểm M trên d sao cho độ dài đoạn thẳng AB là nhỏ nhất, ta cần tìm điểm M sao cho đường thẳng AB song song với đường thẳng OH.
Khi đó, ta có ∠MAH = ∠ABH = 90° (do AB song song với OH).
Ta có thể kẻ đường thẳng AH và tìm điểm M là điểm trên đường thẳng d sao cho AM là đoạn thẳng ngắn nhất.
Vì vị trí của điểm M cần xác định cụ thể và có thể thay đổi, không có cách chung để tìm vị trí đó. Việc tìm vị trí cụ thể của điểm M để độ dài đoạn thẳng AB là nhỏ nhất cần được xác định theo yêu cầu và điều kiện cụ thể của bài toán.