1) Chứng minh bốn điểm A, F, H, E cùng thuộc một đường tròn:

Ta có:
- Đường cao BE của tam giác ABC cắt đường tròn (O) tại E. Vì BE là đường cao nên AE là đường kính của đường tròn (O).
- Đường cao CF của tam giác ABC cắt đường tròn (O) tại F. Tương tự như trên, AF là đường kính của đường tròn (O).

Do đó, ta có tứ giác ABEF là một tứ giác nội tiếp trong đường tròn (O). Vì A, E, F, B cùng nằm trên đường tròn (O), nên bốn điểm A, F, H, E cũng cùng thuộc một đường tròn.

2) Chứng minh BAD = CAQ:

Ta có:
- Đường cao AD của tam giác ABC cắt đường tròn (O) tại A. Vì AD là đường cao nên AQ là đường kính của đường tròn (O).
- Vì hai đường kính AE và AF của đường tròn (O) đồng quy với cạnh BC tại I, nên theo định lí hình học, ta có:
  BAD = IAC.

Từ AQ là đường kính của đường tròn (O), ta cũng có:
  CAQ = CBA.

Từ đó, ta có:
  BAD = IAC = CAQ.

Vậy, BAD = CAQ.

3) Chứng minh tam giác AEP đồng dạng với tam giác ABI và PI // HQ:

- Theo giả thiết, đường cao AD của tam giác ABC cắt đường tròn (O) tại A và giao cắt cạnh BC tại P. Khi đó, ta có:
  AD ⊥ BC và AH ⊥ EF (vì AH là đường cao của tam giác ABC).

- Vì AD ⊥ BC và AH ⊥ EF, nên ta có EF || BC. (do cạnh AEF đứng trên cạnh ABC).

- Từ đó, suy ra hai tam giác AEP và ABI đồng dạng (do có hai góc tương ứng bằng nhau).

- Gọi Q là giao điểm của AE và BP. Khi đó, do hai tam giác AEP và ABI đồng dạng, ta có:
  AQ/AP = AE/AB.

- Từ điều trên, ta suy ra AQ/AP = AE/AB = AH/AF (vì AE là đường kính đường tròn (O) và AF là đường kính đường tròn (O)).

- Vì AQ/AP = AH/AF, nên theo định lí tỉ số cắt, ta có PI || HQ.

Vậy, tam giác AEP đồng dạng với tam giác ABI và PI // HQ.