a. C/M năm điểm M,A,B,E,O cùng thuộc một đường tròn
Chúng ta biết rằng góc tại điểm chung của hai tiếp tuyến đến một hình tròn luôn bằng góc bên trong hình tròn bằng cách kẻ từ tâm đến điểm chung của hai tiếp tuyến. Vì vậy, ∠MAO = ∠MBO = 90 độ. Điều này cho thấy OA và OB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB. Do đó, ∠AEB = 90 độ.

Đồng thời, từ ∠MAO = ∠MBO = 90 độ, ta cũng có ∠AMO = ∠BMO = 90 độ.

Từ đây, suy ra ∠AME = ∠BME, nghĩa là EM là trung trực của đường kính AB. 

Vì vậy, ta có đường tròn (O) bán kính R, đường tròn (M) đi qua điểm A, B, E, O.

b. Trong trường hợp OM=2R và C là trung điểm của đoạn thẳng MD. Hãy tính độ dài đoạn thẳng MD theo R.

Đặt OM = 2R và O nằm giữa M và C. Vì vậy, OC = R, MC = R. 

Vì C là trung điểm của đoạn thẳng MD, vậy nên MC = CD = DM = R.

Suy ra MD = 2R.

c. Chứng minh hệ thức CD^2 = 4AE.BE

Ta đã biết ∠AEB = 90 độ, và EA = EB = 1/2 CD.

Áp dụng định lý Pythagoras cho tam giác AEB, ta có:

AE^2 + BE^2 = AB^2 

Thay AE = BE = 1/2 CD vào phương trình trên, ta được:

CD^2 / 4 + CD^2 / 4 = AB^2 

Suy ra:

CD^2 / 2 = AB^2 

Nhưng AB = 2R (đường kính của đường tròn), nên:

CD^2 / 2 = 4R^2 

=> CD^2 = 8R^2

Từ câu b, chúng ta biết rằng MD = 2R. Do đó, AE = 1/2 MD = R.

BE = OM - AE = 2R - R = R (vì OM = 2R)

Vậy, ta có 4AE.BE = 4R^2 = CD^2, mà đúng như yêu cầu chứng minh.