Để tính diện tích tam giác MNC, ta cần tìm độ dài hai cạnh MN và MC, sau đó áp dụng công thức diện tích tam giác.

Trước tiên, ta tìm độ dài MN:
Vì AM = 1/2 MB, ta có AM = 1/3 AB và MB = 2/3 AB.
Do đó, độ dài MN = AM + AN = 1/3 AB + AN.

Tiếp theo, ta tìm độ dài MC:
Vì AN gấp đôi ND, ta có AN = 2 ND.
Vì AB là đường chéo của hình chữ nhật ABCD, nên MN là đường kính của hình tròn ngoại tiếp tam giác MNC.
Do đó, ta có tam giác MNC là tam giác vuông tại N, và MN là cạnh huyền.

Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông MNC, ta có:
MN² = MC² + NC².

Vì MC = AB - AM = 12 - 1/3 AB và NC = AC - AN = AC - 2 ND = AC - 2/3 AD, ta có:
MN² = (12 - 1/3 AB)² + (AC - 2/3 AD)².

Substituting AB = 12 và AD = 9, ta có:
MN² = (12 - 1/3 * 12)² + (AC - 2/3 * 9)².

Tính toán:
MN² = (12 - 4)² + (AC - 6)²
MN² = 8² + (AC - 6)²
MN² = 64 + (AC - 6)².

Bây giờ chúng ta cần tìm giá trị của AC để tính diện tích tam giác MNC. Từ các điều kiện đã cho, ta biết rằng AC = AD + DC = 9 + 12 = 21.

Substituting AC = 21 vào công thức trên, ta có:
MN² = 64 + (21 - 6)²
MN² = 64 + 15²
MN² = 64 + 225
MN² = 289.

Do đó, độ dài MN = √289 = 17 cm.

Giờ ta có độ dài cả hai cạnh MN và MC, vì tam giác MNC là tam giác vuông tại N. Vậy diện tích tam giác MNC là:
Diện tích MNC = 1/2 * MN * MC
Diện tích MNC = 1/2 * 17 * (12 - 1/3 * 12)
Diện tích MNC = 1/2 * 17 * (12 - 4)
Diện tích MNC = 1/2 * 17 * 8
Diện tích MNC = 68 cm².

Vậy diện tích tam giác MNC là 68 cm².