Ta có:
- Vì AD = BC nên tam giác ABD và tam giác BAC đồng dạng.
- Vì ADC + BCD = 90° nên tam giác ADC và tam giác BCD cũng đồng dạng.
Do đó, ta có:
$$\frac{AB}{BD}=\frac{AC}{CD}$$
$$\frac{AD}{BD}=\frac{BC}{CD}$$
Mà AD = BC nên ta có:
$$\frac{AB}{BD}=\frac{AC}{CD}=\frac{1}{2}$$
$$\frac{AD}{BD}=\frac{1}{2}$$
Từ đó, ta suy ra:
$$AM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{4}BD$$
$$AN=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{4}CD$$
$$BP=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{4}BD$$
$$BQ=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{4}CD$$
Mà M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, AC, CD, BD nên ta có:
$$MN=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}AD=PQ$$
$$MP=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}BD=NQ$$
Vậy tứ giác MNPQ là hình vuông.