Để chứng minh các quan hệ trong câu hỏi, ta sẽ sử dụng các định lý và tính chất của hình học và hình học đường tròn. Dưới đây là cách chứng minh các quan hệ trong câu hỏi:

1) Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp:
- Ta có dây CA lớn hơn dây CB, do đó góc ACB nhọn.
- Góc tạo bởi 2 dây có cùng đỉnh và chắn cùng cung trên đường tròn bằng nhau, do đó góc ACB = góc AEB.
- Vì góc ACB nhọn, nên góc AEB cũng nhọn.
- Góc AEB và góc ADE là góc ở cùng một vị trí so với dây AB, nên chúng bằng nhau.
- Từ đó, ta có tứ giác BCDE nội tiếp (do có 4 góc ADE, AEB, CED, CDB cùng bằng nhau).

2) Chứng minh AD.AC + BF² = 4R²:
- Ta có tứ giác BCDE nội tiếp (đã chứng minh ở trên).
- Theo định lý Ptolemy, trong một tứ giác nội tiếp, tích các đoạn chéo bằng tổng tích các cặp đoạn cạnh đối diện.
- Áp dụng định lý Ptolemy trong tứ giác BCDE, ta có: BC.DE + BD.CE = BE.CD.
- Vì BC = CD và BE = BD (vì cùng là bán kính đường tròn), ta có: BC.DE + BC.CE = BC.CE.
- Suy ra: BC.(DE + CE) = BC.CE.
- Do DE + CE = DE = 2R (vì DE là đường cao của tam giác vuông ADE và ADE là tam giác đều với cạnh AC = 2R), nên ta có: BC.(2R) = BC.CE.
- Chia cả hai vế của phương trình cho BC, ta có: 2R = CE.
- Vì CE = BF (vì cùng là bán kính đường tròn), nên ta có: 2R = BF.
- Suy ra: BF² = 4R² - 4R² = 4R² - AD.AC.
- Từ đó, ta có: AD.AC + BF² = AD.AC + 4R² - AD.AC = 4R².

Vậy, ta đã chứng minh được các quan hệ trong câu hỏi.