a) Để chứng minh tứ giác ABOC là tứ giác nội tiếp, ta cần chứng minh góc AOC bằng góc ABC. Ta có:
- AB và AC là hai tiếp tuyến của đường tròn (O), nên góc ABC và góc ACB là góc vuông.
- Do đó, tứ giác ABCO là tứ giác nội tiếp trong một đường tròn đường kính AC.
- Vì trung điểm của đường kính là E, nên AE vuông góc với AC. Khi đó, góc AEC cũng là góc vuông.
- Từ đó, ta có góc AOC bằng góc AEC.
- Vậy, tứ giác ABOC là tứ giác nội tiếp.

Để chứng minh tam giác CEF đồng dạng với tam giác BEC, ta cần chứng minh các góc tương ứng của hai tam giác đó bằng nhau. Ta có:
- Góc CEF = góc BCE (cùng là góc nằm ngoài tiếp tuyến)
- Góc CFE = góc BAC (cùng là góc ở tâm cung BC trên đường tròn (O))
- Vì góc BCE = góc BAC, nên ta có góc CEF = góc CFE.
- Từ đó, tam giác CEF đồng dạng với tam giác BEC.

b) Để chứng minh BF.CK = BK.CF, ta xem xét tứ giác BCFK. Áp dụng định lý Ptolemy, ta có:
BC.BF + CF.BK = BF.CK
Do tứ giác ABOC là tứ giác nội tiếp, nên BC là đường kính và BF = BK = OC (bán kính).
Vì vậy, ta có: BC.BF + CF.BK = BC.OC + CF.OC = OC(BF + CF) = OC.BC = OB² (vì OB = OC là bán kính)
Vì OB² = BF.CK, nên ta có: BC.BF + CF.BK = BF.CK
Do đó, BF.CK = BK.CF.

Vậy, ta đã chứng minh được BF.CK = BK.CF.

8888888888888888888888888888888888888888888888