a) Ta có SA và SB là tiếp tuyến của đường tròn (O, R). Do đó, góc AOB là góc vuông (góc giữa tiếp tuyến và bán kính tại điểm tiếp tuyến). Vì SO là đường chéo của tứ giác OASB, nên góc SOA và góc SBA đều bằng góc nửa bù của góc AOB.

Vậy tứ giác SOAB là tứ giác nội tiếp, và do đó, 4 điểm S, O, A, B cùng thuộc một đường tròn.

b) Trong trường hợp d = 2R, ta có tứ giác SOAB là hình vuông với đường chéo SO có độ dài 2R. Vì góc SOA là góc vuông, nên theo định lý Pythagoras, ta có:

SA^2 + AO^2 = SO^2
R^2 + AO^2 = (2R)^2
AO^2 = 3R^2

Do đó, AO = R√3. Vì AB là đường chéo của hình vuông SOAB, nên theo định lý Pythagoras, ta có:

AB^2 = AO^2 + OB^2
AB^2 = (R√3)^2 + R^2
AB^2 = 4R^2 + 3R^2
AB^2 = 7R^2

Vậy độ dài đoạn thẳng AB là √(7R^2).

c) Chứng minh SM^2 = MD.MA:
Ta có tứ giác SOAB là tứ giác nội tiếp, nên theo định lý Ptolemy, ta có:
SA. OB + SB. AO = SO. AB
Vì SA = SB (cùng là tiếp tuyến), AO = OB (cùng là bán kính), nên:
2SA. AO = SO. AB
SA = R (bán kính), nên:
2R^2 = SO. AB

Gọi E là giao điểm của SC và AB. Khi đó, ta có tứ giác SCAE là tứ giác điều hòa, nên theo một định lý trong tứ giác điều hòa, ta có:
SD.SM = SA.SE

Từ công thức đã chứng minh ở trên, ta có:
SD.SM = (SO/2).AB

Vì 2R^2 = SO.AB, nên:
SD.SM = R^2

Vì AD và SO là đường chéo của tứ giác AOSM, nên theo một định lý trong tứ giác điều hòa, ta có:
SD.SM = MD.MA

Vậy SM^2 = MD.MA.

d) Tứ giác OAMB là hình thoi khi và chỉ khi cả 4 cạnh của nó có cùng độ dài. Ta có:

OA = OB = R (bán kính)
OM

 = AM (đường chéo)
AB = d

Do đó, d = 2R.

a) Chứng minh rằng 4 điểm S, O, A, B cùng thuộc một đường tròn:
- Ta có SA là tiếp tuyến của đường tròn (O), do đó góc SAB = 90 độ.
- Tương tự, SB cũng là tiếp tuyến của đường tròn (O), nên góc SBA = 90 độ.
- Vì góc SAB = góc SBA = 90 độ, nên tứ giác SOAB là hình chữ nhật.
- Trong hình chữ nhật, đường chéo OA cắt đường chéo SB tại trung điểm M của AB.
- Do đó, ta có SM là đường trung tuyến của tam giác OAB, nên theo định lí đường trung tuyến, SM vuông góc với OA và cắt OA tại điểm D.
- Vì SM vuông góc với OA, nên góc SMD = 90 độ.
- Vì SM cắt OA tại điểm D, nên góc SMD cắt góc MAD tại cùng một cặp góc tương đương.
- Do đó, tứ giác SMAD là tứ giác nội tiếp, và theo định lí Ptolemy, ta có SM.AD = SD.AM + MD.SA.
- Tuy nhiên, vì SM = SA (do tứ giác SOAB là hình chữ nhật), nên SD.AM + MD.SA = (SD + MD).SA = SA^2 = SM^2.
- Vậy ta có SM^2 = MD.MA.

d) Tìm mối liên hệ giữa d và R để tứ giác OAMB là hình thoi:
- Trong hình thoi OAMB, hai đường chéo OA và MB cắt nhau tại giao điểm C (là trung điểm của hai đường chéo).
- Vì đường chéo OA cắt đường thẳng SC tại điểm D, nên theo định lí của đường chéo trong hình thoi, ta có SD = DC.
- Vì OACD là hình vuông (do đường chéo OA cắt đường thẳng SC vuông góc tại D), nên OA = AC = DC.
- Vậy ta có OA = AC = DC = d/2.
- Trên đường tròn (O) có bán kính R, ta có OA = R.
- Vì OA = AC = DC = d/2, nên R = d/2.
- Vậy mối liên hệ giữa d và R để tứ giác OAMB là hình thoi là d = 2R.

a) Ta sẽ chứng minh S, O, A, B nằm trên một đường tròn bằng cách chứng minh tứ giác SOAB là tứ giác nội tiếp.
Vì SA, SB là tiếp tuyến với đường tròn (O) tại A, B nên ∠SAB = ∠SOB, ∠SBA = ∠SOA (suy ra từ định lý về góc tiếp tuyến và dây cung). Vậy nên ∠SOA + ∠SOB = ∠SBA + ∠SAB = 180°, chứng tỏ tứ giác SOAB là tứ giác nội tiếp, hay 4 điểm S, O, A, B cùng thuộc một đường tròn.

b) Khi d = 2R, ∠SOB = 90° (do tam giác SOB là tam giác vuông cân). Vậy thì, AB là đường kính của đường tròn nội tiếp tứ giác SOAB, vì AB vuông góc với SO.
Ta có AB = 2R (AB là đường kính của đường tròn (O)).

c) Để chứng minh SM^2 = MD.MA, ta áp dụng định lý Stewart trong tam giác ADM với dây AC. Ta có:

SM^2 . AC + MC^2 . AD = AM^2 . CD + DM^2 . CA

Thay AC = 2R, CD = R, AD = R (do d = 2R và C là điểm đối xứng của B qua O), ta có:

SM^2 . 2R + MC^2 . R = AM^2 . R + DM^2 . 2R

Rút gọn, ta có:

2.SM^2 + MC^2 = AM^2 + 2.DM^2 (1)

Bởi vì ∠DMC = ∠DAC = ∠DSC (góc giữa tiếp tuyến và dây cung), nên tam giác DMC và tam giác DSC đồng dạng. Do đó, ta có tỷ số DM/MC = DS/DC, hay DM = DS * MC / DC. Thay vào (1), ta được:

2.SM^2 + MC^2 = AM^2 + 2.(DS.MC/DC)^2

Tuy nhiên, vì tam giác SDC là tam giác vuông tại D, ta có DS^2 = DC^2 + SC^2 = R^2 + 4R^2 = 5R^2. Vậy DS = sqrt(5)R. Thay vào (1), ta được:

2.SM^2 + MC^2 = AM^2 + 2.(sqrt(5)R.MC/2R)^2

Rút gọn, ta được SM^2 = MD.MA.

d) Để tứ giác OAMB là hình thoi, ta cần OM = AM (điều này đúng khi M là trung điểm của dây cung AB). Nhưng OM = R và AM = sqrt((SO^2 + AO^2) / 2) = sqrt((d^2 + R^2) / 2) theo định lý Pythagoras. Vậy, để OM = AM, ta cần có R = sqrt((d^2 + R^2) / 2), hay d^2 = R^2. Do đó, d = R hoặc d = -R, nhưng vì d là khoảng cách nên d không thể là giá trị âm. Vậy, d = R.