1. Ta có tam giác ABC là tam giác nội tiếp trong đường tròn (O). Do đó, theo định lý góc nội tiếp, ta có:

∠CBA = ∠CDA (1)
∠CAB = ∠CEB (2)

Từ (1) và (2), ta có:

∠CBA + ∠CAB = ∠CDA + ∠CEB
∠CBE + ∠CEB = ∠CDA + ∠CEB
∠CBE = ∠CDA

Vậy, tứ giác BEDC có tổng các góc trong bằng 360 độ, do đó là tứ giác nội tiếp.

2. Kéo dài DE cắt đường thẳng BC tại F. Gọi I là trung điểm của BC.

Theo định lý trung tuyến, ta có: ID = IF.

Ta có: ∠BDF = ∠BEF (cùng nằm trên cùng một cạnh BE)

Vì tứ giác BEDC nội tiếp, nên: ∠BDF = ∠CDE

Từ đó, ta có: ∠BEF = ∠CDE

Do đó, các tam giác BEF và CDE đồng dạng.

Áp dụng định lý đồng dạng tam giác, ta có:

FE/FD = CE/CD

Vì tứ giác BEDC nội tiếp, nên: CE/CD = BE/BD

Do đó, FE/FD = BE/BD

Vì I là trung điểm của BC, nên: BD = CD

Vậy, ta có: FE/FD = BE/BD = BE/CD = BE/2ID (với I là trung điểm của BC)

Lại có: ID = IF

Từ đó, ta có: FE/FD = BE/2IF

Mặt khác, ta có: FI² - ID² = FI² - IF² (vì ID = IF)

Áp dụng định lý cung và tiếp tuyến, ta có: FI² - IF² = FE/FD

Vậy, ta chứng minh được: FE.FD = FI² - ID²