b) Chứng minh: MN^2 = NF.NA

Vì MA và MB là tiếp tuyến của đường tròn, nên tam giác AMB vuông tại M. Khi đó, ta có:

• MN là đường cao của tam giác AMB (đường cao hạ từ góc vuông của một tam giác bất kỳ sẽ chia tam giác đó thành hai tam giác vuông cân).
• NE là đường trung bình của tam giác AMB (vì AE song song với MO, nên tam giác AME và tam giác OMB đồng dạng, do đó AN/OM = ME/MB = AE/OB => AN = OM.(AE/OB)).
• MF là đường trung bình của tam giác AFB (vì AF song song với OE, nên tam giác AEF và tam giác OBF đồng dạng, do đó AF/OE = AE/OB => MF = OE.(AF/OE)).

Gọi x = OM, y = ON, z = OB, ta có:

• NA = NB = R.
• NE = AN - AE = x.(1 - AE/OB) = x.(1 - R/z).
• MF = OF - OM = (R + y) - x.
• NF = NE + EF + FM = x.(1 - R/z) + y + (R - x) = y + R.(1 - x/z).
• NA.NF = R.(y + R.(1 - x/z)) = R.y + R^2.(1 - x/z).
• NF.NA = (R - NE).(R + MF) = (z - x.R/z).(R + (R + y - x)) = z.R + y.R - x.R + y.R - x.R = 2y.R - 2x.R + z.R.
• Ta cần chứng minh MN^2 = NA.NF, tức là x^2 + y^2 = R.y + R^2.(1 - x/z).

Trong tam giác ONH, ta áp dụng định lý Pythagore để có: OH^2 = ON^2 + NH^2 => (x+z)^2 = y^2 + NH^2 => NH^2 = (x+z)^2 - y^2.

Trong tam giác OMB, ta có: OB^2 = OM^2 + MB^2 => z^2 = x^2 + R^2. Khi đó:

x^2 + y^2 = x^2 + ON^2

= x^2 + OH^2 - NH^2

= x^2 + (x+z)^2 - ((x+z)^2 - y^2)

= 2x^2 + 2xz - 2