Để chứng minh tứ giác DMEN là hình chữ nhật và P là trung điểm của đoạn thẳng QT, ta cần thực hiện các bước sau:

Bước 1: Chứng minh tứ giác DMEN là hình chữ nhật.
- Ta có DM // AE (do DM và AE đều vuông góc với AB, và CD là đường cao của tam giác ABE).
- Ta có NE // CD (do NE và CD cùng vuông góc với AB, và DE là đường cao của tam giác CBE).
- Vì DM // AE và NE // CD, từ đó suy ra DM // NE.
- Ta đã chứng minh được DM // NE và DM vuông góc NE, vậy tứ giác DMEN là hình chữ nhật.

Bước 2: Chứng minh P là trung điểm của đoạn thẳng QT.
- Gọi F là giao điểm của QT và BC.
- Ta cần chứng minh FP = FQ.
- Do DMEN là hình chữ nhật, nên MN là đường chéo của hình chữ nhật và đi qua trung điểm của đoạn thẳng DE.
- Vì M là trung điểm của DE, nên MN là đường thẳng đối xứng với DE qua trung điểm.
- Từ đó suy ra MT = NT.
- Từ tứ giác KCE và KQP = KCE, suy ra KE // CQ.
- Từ KE // CQ, MN là đường chéo của hình chữ nhật DMEN và MT = NT, suy ra tứ giác MNTQ là hình bình hành.
- Vì F nằm trên đường thẳng MN, nên FT cắt đường thẳng BC tại P, và FP = FQ.
- Vậy chúng ta đã chứng minh được P là trung điểm của đoạn thẳng QT.

Tóm lại, tứ giác DMEN là hình chữ nhật và P là trung điểm của đoạn thẳng QT.