Để giải bài toán này, ta cần vẽ hình như sau:



a) Ta có ∆ABC là tam giác đều, nên AB = BC = CA.

b) Ta có K là trung điểm của AC, nên AK = KC. Vì ∆ABC là tam giác cân tại A, nên góc BAC = góc BCA = 60°. Do đó, ta có góc BKC = 180° - góc BKA - góc CKC = 180° - 60° - 60° = 60°. Vậy BK vuông góc với AC.

c) Ta có AK = KC và góc ABK = góc CBK (vì ∆ABC là tam giác cân tại A), nên ta có ∆ABK = ∆CBK (cạnh chung AB = BC và 2 góc vuông). Do đó, góc ABK = góc KBC.

d) Ta có H là trung điểm của BC, nên BH = HC. Gọi M là trung điểm của AB, ta có AM = MB. Vì ∆ABC là tam giác cân tại A, nên ta có góc BAC = góc BCA = 60°. Do đó, ta có góc ABM = góc CBH = 30°. Từ đó, ta suy ra góc AMB = góc BHC = 150°.

Gọi I là giao điểm của AH và BK. Ta cần chứng minh IH = IK.

Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác ABK và đường thẳng AH, ta có:

$\dfrac{HI}{IB} \cdot \dfrac{BA}{AK} \cdot \dfrac{KC}{CH} = 1$

Vì AB = BC = CA, nên ta có AK = KC = $\dfrac{1}{2}$AC. Từ đó, ta suy ra:

$\dfrac{HI}{IB} = \dfrac{CH}{2BA}$

Tương tự, áp dụng định lí Menelaus cho tam giác ABK và đường thẳng BH, ta có:

$\dfrac{IK}{KA} \cdot \dfrac{AB}{BM} \cdot \dfrac{MC}{CH} = 1$

Vì AB = BC = CA, nên ta có BM = MC = $\dfrac{1}{2}$AB. Từ đó, ta suy ra:

$\dfrac{IK}{KA} = \dfrac{CH}{2AB}$

Do đó, ta có:

$\dfrac{HI}{IB} = \dfrac{IK}{KA}$

Từ đó, suy ra IH = IK.

Vậy ta đã chứng minh được các phần a, b, c, d của bài toán.