Cho các số thực x, y, z khác 0, đôi một khác nhau và thỏa mãn

Ta có:
x^2 - xy = y^2 - yz
⇔ x^2 - y^2 = xy - yz
⇔ (x+y)(x-y) = y(x-z)
⇔ x+y = y(x-z)/(x-y) (1)

Tương tự, ta có:
y+z = z(y-x)/(y-z) (2)
z+x = x(z-y)/(z-x) (3)

Nhân cả hai vế của (1) với z/(xy), (2) với x/(yz) và (3) với y/(zx), rồi cộng vế với nhau, ta được:
z/(y-x) + x/(z-y) + y/(x-z) = 0
⇔ (z^2 - y^2)/(z-y) + (x^2 - z^2)/(x-z) + (y^2 - x^2)/(y-x) = 0
⇔ (z+y) + (x+z) + (y+x) = 0 (từ (1), (2), (3))
⇔ 2(x+y+z) = 0
⇔ 1/x + 1/y + 1/z = 0 (đpcm)