Ta có thể viết lại chuỗi A như sau:

A = 5 + 5^2 + 5^3 + 5^4 +... + 5^66 = 5(1 + 5 + 5^2 + 5^3 +... + 5^65)

Tính tổng chuỗi hình học:

Tổng của chuỗi hình học có dạng a + ar + ar^2 +...+ ar^n là S = a * (1 - r^(n+1)) / (1 - r) 

Ở đây a = 1, r = 5, n = 65 nên tổng chuỗi hình học trở thành S = (1 - 5^66) / (1 - 5)

Như vậy A = 5 * S = 5 * [(1 - 5^66) / 4]

Bây giờ chúng ta cần chứng minh rằng 5 * [(1 - 5^66) / 4] chia hết cho 31.

Theo định lý Fermat nhỏ, với số nguyên tố p và số nguyên a không chia hết cho p, ta có a^(p-1) ≡ 1 (mod p)

Ở đây, 31 là số nguyên tố và 5 không chia hết cho 31, nên ta có 5^(31-1) ≡ 1 (mod 31)

Như vậy, 5^30 ≡ 1 (mod 31)

Chia 66 cho 30 ta được thương là 2 và số dư là 6, tức là 5^66 ≡ (5^30)^2 * 5^6 ≡ 1^2 * 5^6 ≡ 5^6 (mod 31)

Như vậy, 1 - 5^66 ≡ 1 - 5^6 ≡ -5^6 ≡ -15625 ≡ 0 (mod 31) (vì 15625 = 31 * 504 + 15)

Vì 1 - 5^66 chia hết cho 31 nên 5 * [(1 - 5^66) / 4] cũng chia hết cho 31.

Vậy, A = 5 + 5^2 + 5^3 + 5^4 +... + 5^66 chia hết cho 31.