Ta có thể sử dụng định lí Fermat nhỏ để giải bài toán này. Định lí Fermat nhỏ nói rằng nếu p là số nguyên tố và a là số nguyên không chia hết cho p, thì:

a^(p-1) ≡ 1 (mod p)

Áp dụng định lí Fermat nhỏ vào bài toán này, ta có:

5^30 ≡ 1 (mod 31)

Do đó:

A ≡ 1 + 5 + 5^2 + 5^3 + 5^4 + 5^5 + 5^6 + 5^6 + 5^7 + 5^8 + 5^9 (mod 31)

A ≡ (1 + 5 + 5^2 + 5^3 + 5^4 + 5^5 + 5^6 + 5^7 + 5^8 + 5^9 + 5^6) - 5^6 (mod 31)

A ≡ (5^10 - 1) / (5 - 1) - 5^6 (mod 31)

A ≡ (9765624 - 1) / 4 - 15625 (mod 31)

A ≡ 2441405 - 15625 (mod 31)

A ≡ 2425780 (mod 31)

A ≡ 1 (mod 31)

Vậy ta đã chứng tỏ được rằng A chia cho 31 dư 1.