a) Ta có: $7^2 \equiv 1 \pmod{6}$. Do đó, $7^{2020} \equiv (7^2)^{1010} \equiv 1^{1010} \equiv 1 \pmod{6}$. Vậy $7^{2020} - 1$ chia hết cho 6.

b) Ta có: $2015^{2015} - 1 = (2014+1)^{2015} - 1$. Áp dụng công thức Newton cho $(a+b)^n$, ta có:

$$(a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k}b^k$$

Áp dụng vào $(2014+1)^{2015}$, ta có:

$$(2014+1)^{2015} = \sum_{k=0}^{2015} \binom{2015}{k} 2014^{2015-k}$$

Do đó,

$$(2014+1)^{2015} - 1 = \sum_{k=1}^{2015} \binom{2015}{k} 2014^{2015-k}$$

Ta chứng minh rằng $\binom{2015}{k}$ chia hết cho 2014 với $1 \leq k \leq 2014$. Thật vậy, ta có:

$$\binom{2015}{k} = \frac{2015!}{k!(2015-k)!} = \frac{2015 \times 2014 \times \cdots \times (2016-k)}{k!}$$

Vì $k \leq 2014$, nên $2016-k$ chia hết cho 2014. Do đó, $\binom{2015}{k}$ chia hết cho 2014.

Với $k=2015$, ta có $\binom{2015}{2015} = 1$.

Vậy tổng $\sum_{k=1}^{2015} \binom{2015}{k} 2014^{2015-k}$ chia hết cho 2014. Do đó, $2015^{2015} - 1$ chia hết cho 2014.