Để chứng minh câu 5 và 6, ta sử dụng tính chất của đường cao trong tam giác vuông.

5. Ta có $\angle AHE = 90^\circ$ và $AH=EF$, nên tam giác $AEH$ đồng dạng với tam giác $AFH$. Từ đó suy ra $\angle AEF = \angle AFH = \angle ABC$. Vì $M$ là trung điểm của $CB$, nên $AM$ song song với $BC$. Do đó, $\angle AME = \angle ABC$. Từ đó suy ra $\angle AME = \angle AEF$, nên $AM$ cùng vuông góc với $EF$. Vậy ta có $AM \perp EF$.

6. Gọi $P$ là trung điểm của $HB$, $Q$ là trung điểm của $HC$. Ta có $HP \parallel AC$ và $HQ \parallel AB$. Từ đó suy ra $PQ \parallel BC$. Do đó, $\angle EPQ = \angle EHB = \angle EAF$. Tương tự, ta có $\angle EQP = \angle EHC = \angle EAB$. Vậy ta có $\angle EPQ = \angle EAF$ và $\angle EQP = \angle EAB$, nên tam giác $AEF$ đồng dạng với tam giác $EPQ$. Từ đó suy ra $EF$ và $PQ$ cùng vuông góc với nhau, nên $EF \perp PQ$. Vậy ta có $EQ \parallel EF$.

Chú ý: Để chứng minh câu 7, ta sử dụng tính chất của tứ giác điều hòa.