Ta có thể sử dụng công thức hoàn chỉnh để biến đổi biểu thức x^2 + x + 3 thành (x + 1/2)^2 + 11/4. Vậy để x^2 + x + 3 là số chính phương, ta cần tìm giá trị của x sao cho (x + 1/2)^2 + 11/4 là số chính phương.

Giả sử (x + 1/2)^2 + 11/4 = y^2, với y là số nguyên dương. Ta có:

(x + 1/2)^2 = y^2 - 11/4

(x + 1/2)^2 = (y + √11/2)(y - √11/2)

Vì y là số nguyên dương, nên y + √11/2 > y - √11/2. Do đó, ta có:

y + √11/2 = (x + 1/2 + √11/2)

y - √11/2 = (x + 1/2 - √11/2)

Tổng hai biểu thức trên là 2y, nên ta có:

2y = 2x + 1

Do đó, x = (2y - 1)/2.

Vậy để √x^2 + x + 3 là số nguyên, ta cần tìm giá trị của y sao cho (2y - 1)^2 + 44 là số chính phương. Ta có thể kiểm tra các giá trị của y từ 1 đến 10 và tìm được rằng không có giá trị nào của y thỏa mãn điều kiện này. Vậy không tồn tại số nguyên x để √x^2 + x + 3 là số nguyên.