A)        Ta có : MI$\perp$AB =) góc AIM =90* ; MK vuông AC suy ra góc AKM =90* ; xét tứ giác AIMK có tổng 2 góc đối AIM và AKM =180* suy ra tứ giác AIMK nội tiếp đường tròn .(đpcm)
B)        MK vuông AC nên góc MKC = 90* ; MP vuông BC nên góc MPC=90* , xét tứ giác MPCK có tổng 2 góc đối MKC và MPC =180* suy ra tứ giác MPKC nội tiếp đường tròn =)góc MPK =góc MCK (2 góc nội tiếp đường tròn cùng chắn cung MK)
Xét (O;R) : góc MBC= góc MCK ( góc nội tiếp và góc tạo bởi 2 tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung MC)
=)góc MPK= góc MBC (đpcm)
C)        Ta có MI vuông AB =) góc MIB=90* ; MP vuông BC =) góc MPB =90* ; xét tứ giác MIBP có tổng 2 góc đối = 180* nên tứ giác MIBP nội tiếp đường tròn =) góc MIP = góc MBP ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung MP )
mà góc MPK = góc MBC =) góc MPK = góc MIP (1)
Lại có : góc IBM = góc MCB ( góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung MB)
mà góc IBM = góc IPM ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung IM) =) góc MCB = góc IPM hay góc MCP = góc IPM 
mà góc MCP =góc MKP ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung MP ) =) góc IPM = góc MKP (2)
Từ (1) và (2) =) 2 tam giác IMP và PMK bằng nhau (g.g) =) IM/PM = MP/MK  (=) MP^2 = MI.MK  (=) MP^3 =MI.MK.MP   =) (MI.MK.MP)max (=) MP max  (=) M là điểm nằm chính giữa cung nhỏ BC .