a) Tam giác DEF vuông tại D
=>  DE^2 + DF^2 = EF^2.
Trên tia đối của tia DE lấy điểm I sao cho DI=KF, suy ra EI là trung tuyến của tam giác DEF và EM = MF.
Do đó, ta có: DE^2 + EF^2 = 2EM^2 + 2DM^2 (theo định lý Pythagoras)
                     KF^2 + EF^2 = 2FM^2 + 2KM^2 (theo định lý Pythagoras)
Vì EM = MF, suy ra 2EM^2 = 2FM^2. 
=> DE^2 + DF^2 = KF^2 + EF^2
=> 2DM^2 = 2KM^2
=>  tam giác DEM = tam giác KEM (cạnh- góc -cạnh).

b) Ta có EM = MF (vì EI là trung tuyến của tam giác DEF)
             DI = KF (theo đề bài).
=>  tam giác EMI = tam giác FMK (cạnh bằng cạnh)
 Do đó, ta có góc EMK = góc EMI + góc FMK = 90 độ + 90 độ = 180 độ
=>  EM vuông góc  DK.
c) Ta có: DM^2 = EM^2 - ED^2 < EM^2
              MF^2 = EM^2 - EF^2 > EM^2
=> DM < MF.
d) Ta có EM = MF và DI = KF (theo đề bài)
=> tam giác EMI = tam giác FMK (cạnh bằng cạnh).
Do đó, ta có góc DMI = góc FMK.
Tuy nhiên, góc FMK + góc KMF = 90 độ + 90 độ = 180 độ (vì tam giác FMK vuông tại M), suy ra góc DMI = góc KMF. Vậy DMI = KMF.

Vì tam giác EMI = tam giác FMK, suy ra góc EMI = góc FMK. Tuy nhiên, góc EMI + góc DMK = 90 độ + 90 độ = 180 độ (vì tam giác EMI vuông tại M), suy ra góc DMK = 180 độ - góc EMI. Tương tự, ta có góc KDM = 180 độ - góc FMK. Do đó, góc DMI + góc KDM = (180 độ - góc EMI) + (180 độ - góc FMK) = 360 độ - (góc EMI + góc FMK) = 360 độ - 180 độ = 180 độ. Vậy DMI = KMF và K,M,I thẳng hàng.