Để hệ phương trình có vô nghiệm, ta cần tìm giá trị của m sao cho tử số và mẫu số của mỗi phân số trong hệ phương trình không bằng nhau tại bất kỳ giá trị nào của x.

Đầu tiên, ta sẽ tìm giá trị của m để tử số của phân số đầu tiên bằng mẫu số của phân số thứ hai:

$$x - m = (x + 1)(x - 1) - (x - 2)(x + 1)$$

$$x - m = x^2 - 1 - x^2 + x + 2x - 2x - 2$$

$$x - m = -3$$

$$m - x = 3$$

Do đó, ta có thể viết lại hệ phương trình ban đầu thành:

$$\frac{-3}{x - 1} + \frac{x - 2}{x + 1} = 2$$

Tiếp theo, ta sẽ tìm giá trị của m để tử số của phân số thứ hai bằng mẫu số của phân số đầu tiên:

$$x - 2 = (x - 1)(x + 1) - (-3)(x - 1)$$

$$x - 2 = x^2 - 1 + 3x - 3$$

$$x^2 - 4x + 4 = 0$$

$$(x - 2)^2 = 0$$

$$x = 2$$

Do đó, khi $x = 2$, tử số của phân số đầu tiên bằng mẫu số của phân số thứ hai. Tuy nhiên, khi $x = 2$, mẫu số của phân số đầu tiên và phân số thứ hai đều bằng 1, do đó hệ phương trình sẽ không có nghiệm nếu $m = 2$.

Vậy, giá trị của tham số m để hệ phương trình không có nghiệm là $m = 2$.