a) Ta có $\frac{AI}{IB}=\frac{CK}{KD}=1$ (do I và K lần lượt là trung điểm của AB và CD). Do đó, ta có $AI=IB$ và $CK=KD$.

Gọi M là trung điểm của EF. Ta có $\frac{AM}{ME}=\frac{AC}{CE}$ và $\frac{BM}{MF}=\frac{BD}{DF}$.

Vì $AC=BD$ (do AB và CD là hai đường chéo của hình bình hành ABCD), nên ta có $\frac{AM}{ME}=\frac{BM}{MF}$.

Do đó, tứ giác AEFI là hình thang với $AE\parallel IF$.
b) Ta có $AI=IB$ và $CK=KD$ (vì I và K lần lượt là trung điểm của AB và CD).

Gọi M là trung điểm của EF. Ta có $AM=ME$ và $BM=MF$ (vì M là trung điểm của EF).

Vì tứ giác AEFI là hình thang, nên $AE=IF$.

Do đó, ta có $DE=AE-AD=IF-DC=EF$ và $FB=DC-IF=AD-AE=EF$.

Vậy ta có DE=EF=FB.