Để phân tích đa thức này thành nhân tử, ta có thể sử dụng phương pháp chia đa thức bằng cách tìm các ước của đa thức.

Đầu tiên, ta thấy rằng đa thức này không có ước chung rõ ràng nào, vì vậy ta có thể bắt đầu bằng cách thử tìm ước của bậc thấp nhất của đa thức, tức là x.

Chia đa thức cho x, ta được:

x^3 + 1 + 1/x + 1/x^2 + 1/x^3

Ta thấy rằng đa thức này không thể chia hết cho bất kỳ đa thức bậc 1 nào khác, vì vậy ta có thể kết luận rằng x là một nhân tử của đa thức ban đầu.

Tiếp theo, ta cần tìm các nhân tử còn lại của đa thức. Ta có thể sử dụng phương pháp giải phương trình bậc 3 để tìm các giá trị của x^3 + 1.

Đặt y = x^3 + 1, ta có phương trình:

y^3 + y^2 + y + 1 = 0

Phương trình này có thể được giải bằng cách sử dụng phương pháp Horner hoặc phương pháp giải phương trình bậc 3 thông thường. Tuy nhiên, trong trường hợp này, ta có thể dễ dàng nhận thấy rằng nếu ta đặt y = -1, thì phương trình sẽ trở thành:

(-1)^3 + (-1)^2 + (-1) + 1 = 0

Do đó, ta có thể kết luận rằng y + 1 là một nhân tử của phương trình ban đầu.

Từ đó, ta có thể suy ra rằng:

x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = (x + 1)(x^3 + 1)

Và đa thức x^3 + 1 có thể được phân tích tiếp thành nhân tử bằng cách sử dụng phương pháp chia đa thức hoặc phương pháp giải phương trình bậc 3.

Vậy kết quả cuối cùng là:

x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = (x + 1)(x^3 + 1) = (x + 1)(x + 1)(x^2 - x + 1)