Bài 5:
Gọi E là giao điểm của AJ và BC. Ta có:

• Do I là trung điểm của DJ nên ID song song với AJ (vì J là điểm đối xứng của D qua I).
• Do tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I) nên IB = IC.
• Từ hai điều trên, ta có tam giác IBD đồng dạng với tam giác JAE (theo góc).

Suy ra: BD/AJ = ID/IJ và AE/IJ = ID/BD

Mà AE // BC, nên ta có:

CT/TB = AE/EB = IJ/ID

Tương tự, ta có:

BD/TC = ID/IJ

Nhân hai vế của hai phương trình trên ta được:

BD/TC . CT/TB = ID^2/IJ^2

Mà  ΔIJD đồng dạng với ΔITC, nên:

ID^2/IJ^2 = CT/IT. CI/ID

Thay vào phương trình trên ta được:

BD/TC . CT/TB = CT/IT . CI/ID

BD/TB = CI/IT

Như vậy, ta đã chứng minh được rằng BD = CT.