Để chứng minh AD.AB = AE.AC, ta có:

$\frac{AD}{AC}=\frac{BD}{BC}$ (vì $\Delta ABD \sim \Delta ABC$)

$\frac{AE}{AB}=\frac{CE}{BC}$ (vì $\Delta AEC \sim \Delta ABC$)

Nhân hai vế của hai phương trình trên ta được:

$\frac{AD}{AC}.\frac{AE}{AB}=\frac{BD}{BC}.\frac{CE}{BC}$

$\Rightarrow \frac{AD.AE}{AB.AC}=\frac{BD.CE}{BC^2}$

Nhưng ta có $BD.CE=AH^2-BH^2$ (vì $BH^2=BD.BC$ và $AH^2=CE.BC$)

Thay vào phương trình trên ta được:

$\frac{AD.AE}{AB.AC}=\frac{AH^2-BH^2}{BC^2}$

$\Rightarrow AD.AB=AE.AC+BH^2$

Nhưng ta có $BH^2=AH^2-AB^2$ (vì đường cao AH của tam giác ABC)

Thay vào phương trình trên ta được:

$AD.AB=AE.AC+AH^2-AB^2$

$\Rightarrow AD.AB=AE.AC+AD^2$

$\Rightarrow AD.AB-AE.AC=AD^2$

$\Rightarrow AD.(AB-AE)=AD^2$

$\Rightarrow AD=\frac{AD^2}{AB-AE}$

$\Rightarrow AB-AE=\frac{AD}{AD}=1$

$\Rightarrow AB=AE$

Do đó, ta có $AD.AB=AE.AC$.

Tiếp theo, ta chứng minh tam giác ADE đồng dạng với tam giác ACB.

Ta có $\widehat{ADE}=\widehat{ACB}$ (cùng bù)

Và $\widehat{AED}=\widehat{AEC}-\widehat{DEC}=\widehat{ABC}-\widehat{BAC}=\widehat{ACB}$

Do đó, ta có tam giác ADE đồng dạng với tam giác ACB.

Cuối cùng, ta chứng minh $AD.BH^2=BD.AH^2$.

Ta có $BH^2=BD.BC$ và $AH^2=CE.BC$

Do đó, $AD.BH^2=AD.BD.BC$

Và $BD.AH^2=BD.CE.BC$

Nhưng ta đã chứng minh được $AD.AB=AE.AC$, nên ta có thể thay thế $AB$ bằng $AE$ trong phương trình trên.

Do đó, $BD.AH^2=BD.CE.BC=BD.AB.BC=BD.AE.BC=AD.BD.BC=AD.BH^2$.

Vậy ta đã chứng minh được cả ba phần đều đúng.