LH Quảng cáo: lazijsc@gmail.com

Bài tập  /  Bài đang cần trả lời

Cho tam giác nhọn ABC, AH là đường cao. Vẽ HD vuông góc với AB tại D, HE vuông góc với AC tại E

Cho tam giác nhọn ABC, AH là đường cao. Vẽ HD vuông góc với AB tại D, HE vuông góc với AC tại E
chứng minh: AD.AB = AE.AC
                    tam giác ADE đồng dạng với tam giác ACB
                    AD.BH^2 =BD.AH^2
3 trả lời
Hỏi chi tiết
686
Tham khảo câu trả lời từ Trợ lý ảo Lazi
Để chứng minh AD.AB = AE.AC, ta có:

$\frac{AD}{AC}=\frac{BD}{BC}$ (vì $\Delta ABD \sim \Delta ABC$)

$\frac{AE}{AB}=\frac{CE}{BC}$ (vì $\Delta AEC \sim \Delta ABC$)

Nhân hai vế của hai phương trình trên ta được:

$\frac{AD}{AC}.\frac{AE}{AB}=\frac{BD}{BC}.\frac{CE}{BC}$

$\Rightarrow \frac{AD.AE}{AB.AC}=\frac{BD.CE}{BC^2}$

Nhưng ta có $BD.CE=AH^2-BH^2$ (vì $BH^2=BD.BC$ và $AH^2=CE.BC$)

Thay vào phương trình trên ta được:

$\frac{AD.AE}{AB.AC}=\frac{AH^2-BH^2}{BC^2}$

$\Rightarrow AD.AB=AE.AC+BH^2$

Nhưng ta có $BH^2=AH^2-AB^2$ (vì đường cao AH của tam giác ABC)

Thay vào phương trình trên ta được:

$AD.AB=AE.AC+AH^2-AB^2$

$\Rightarrow AD.AB=AE.AC+AD^2$

$\Rightarrow AD.AB-AE.AC=AD^2$

$\Rightarrow AD.(AB-AE)=AD^2$

$\Rightarrow AD=\frac{AD^2}{AB-AE}$

$\Rightarrow AB-AE=\frac{AD}{AD}=1$

$\Rightarrow AB=AE$

Do đó, ta có $AD.AB=AE.AC$.

Tiếp theo, ta chứng minh tam giác ADE đồng dạng với tam giác ACB.

Ta có $\widehat{ADE}=\widehat{ACB}$ (cùng bù)

Và $\widehat{AED}=\widehat{AEC}-\widehat{DEC}=\widehat{ABC}-\widehat{BAC}=\widehat{ACB}$

Do đó, ta có tam giác ADE đồng dạng với tam giác ACB.

Cuối cùng, ta chứng minh $AD.BH^2=BD.AH^2$.

Ta có $BH^2=BD.BC$ và $AH^2=CE.BC$

Do đó, $AD.BH^2=AD.BD.BC$

Và $BD.AH^2=BD.CE.BC$

Nhưng ta đã chứng minh được $AD.AB=AE.AC$, nên ta có thể thay thế $AB$ bằng $AE$ trong phương trình trên.

Do đó, $BD.AH^2=BD.CE.BC=BD.AB.BC=BD.AE.BC=AD.BD.BC=AD.BH^2$.

Vậy ta đã chứng minh được cả ba phần đều đúng.
1
1
Hoàng Hiệp
22/06/2023 14:31:26
+5đ tặng
Câu a và câu c 

Mở khóa để xem toàn bộ nội dung trả lời

(?)
Bạn đã đạt đến giới hạn của mình. Bằng cách Đăng ký tài khoản, bạn có thể xem toàn bộ nội dung trả lời
Cải thiện điểm số của bạn bằng cách đăng ký tài khoản Lazi.
Xem toàn bộ các câu trả lời, chat trực tiếp 1:1 với đội ngũ Gia sư Lazi bằng cách Đăng nhập tài khoản ngay bây giờ
Tôi đã có tài khoản? Đăng nhập
1
0
Phương
22/06/2023 14:38:28
+4đ tặng
1
0
NguyễnNhư
22/06/2023 14:42:31
+3đ tặng
Theo hệ thức lượng trong  Δ vuông có:
+ trong  Δ vuông AHB :AH^2 = AD.AB
+ Trong  Δ vuông AHC: AH^2 = AE.AC
=> AD.AB = AE.AC (đpcm)
b) + trong  Δvuông AHB có: BH^2 = BD.BA 
Lập tỉ số: AH^2/BH^2 = AE.AC/BD.BA (1)
mà thay AE.AC=AD.AB vào (1)
AH^2/BH^2 = AD/BD 
=> AD . BH^2 = BD. AH^2

Bạn hỏi - Lazi trả lời

Bạn muốn biết điều gì?

GỬI CÂU HỎI
Học tập không giới hạn cùng học sinh cả nước và AI, sôi động, tích cực, trải nghiệm
Bài tập Toán học Lớp 9 mới nhất
Trắc nghiệm Toán học Lớp 9 mới nhất

Hôm nay bạn thế nào? Hãy nhấp vào một lựa chọn, nếu may mắn bạn sẽ được tặng 50.000 xu từ Lazi

Vui Buồn Bình thường

Học ngoại ngữ với Flashcard

×
Trợ lý ảo Trợ lý ảo
×
Gia sư Lazi Gia sư