Cho tam giác ABC vuông tại A, Đường cao AH góc B=60 độ AC=15

a) Ta có AB = AC/cosB = 15/cos60° = 30. Do đó tam giác ABC có các cạnh là AB = 30, AC = 15, BC = √(AB² - AC²) = √(900 - 225) = √675 = 15√3.

b) Ta có AQ là phân giác góc A nên AB/AQ = BC/CQ. Từ đó suy ra AQ = AB/(1 + BC/AC) = 30/(1 + √3) và HQ = AH - AQ = AC/sinB - AQ = 15/√3 - 30/(1 + √3) = (15√3 - 45)/(√3 + 1) = 15(√3 - 3).

c) Ta có HM là đường cao của tam giác AHB nên AM = MB. Gọi x là độ dài của HM, ta có:

- AB² = AH² + BH² = (AC/sinB)² + (BC - HM)² = 225/3 + (15√3 - x)²
- AM² = AB² - BM² = AB² - (AB - AM)² = 2AB·AM - AM² = 2AB·AM - AB²/4
- MB² = AB² - AM²

Từ đó suy ra x = 5√3 và AM = MB = √(AB²/2 - x²) = √(450 - 75) = 15√2.

d) Ta có BN là đường cao của tam giác ABH nên BN = BH·sinB = AC·cosB·sinB = 15/2. Gọi HN = y và BN = x, ta có:

- AN = AC·cosB = 15/2
- AH = AC·sinB = 15√3/2
- NH = AH - AN = 15(√3/2 - 1/2) - y

Ta có BN·NH = AN·HN, suy ra y = 15(√3/2 - 1/2)/(√3/2 + 1/2) - 15/2 = 15(√3 - 2)/(√3 + 1) và x = 15/2.

e) Ta có BH.AC = AB²/2 = 450 và BN.HA = BN·(AH - AN) = 15/2·15(√3/2 - 1/2 - √3/2 + 1/2) = 225/4. Vậy BH.AC = BN.HA.

f) Diện tích tam giác ABN là S₁ = BN·AH/2 = 225/4. Diện tích tam giác ABC là S = AC·BC/2 = 15·15√3/2 = 112.5√3. Vậy diện tích hình thang ABNC là S - S₁ = 112.5√3 - 225/4.

g) Ta có AQ là phân giác góc A nên EC là phân giác góc BAC. Áp dụng định lý phân giác, ta có:

- AE/EC = AB/BC = 2
- AQ/QC = AB/BC = 2

Từ đó suy ra AE = 2EC và QC = 2AQ. Ta có AQ = 30/(1 + √3) nên QC = 60/(1 + √3) = 60(√3 - 1). Suy ra EC = 10(√3 - 1) và EA = 20(√3 - 1).