Vì ABCD là hình bình hành, nên ta có AB || CD và AB = 2AD.
Do đó, ta có EF || AB và EF = AB/2 = AD.

Đồng thời, ta cũng có IK || AB và IK = AB/2 = AD.

Vậy, ta có EF || AB, EF = AD và IK || AB, IK = AD.

Điều này chứng tỏ EF và IK là đường trung bình của ABCD.

Tiếp theo, ta chứng minh rằng EF và IK là đường cao của tam giác EFI và tam giác IKF.

Vì EF || AB và AB là đường chéo của ABCD, nên EF là đường cao của tam giác EFI.

Tương tự, vì IK || AB và AB là đường chéo của ABCD, nên IK là đường cao của tam giác IKF.

Vậy, ta đã chứng minh được tứ giác EIFK là hình chữ nhật.

B. Điều kiện để tứ giác EIKF là hình vuông:
Để tứ giác EIKF là hình vuông, ta cần thêm một số điều kiện.

1. EF = IK (Cạnh góc vuông của hình vuông)
2. EF vuông góc với IK (Đường cao của tam giác)
3. EF = IK = AB/2 (Cạnh hình bình hành)

Do AB = 2AD, ta có EF = IK = AD.

Vậy, để tứ giác EIKF là hình vuông, điều kiện cần là AB = 2AD và EF = IK = AD.