1) Ta có tam giác vuông ABC, với đường cao AH. Vì tam giác ABC vuông tại A, nên góc ABC = 90 độ.

Áp dụng định lí Pythagoras trong tam giác vuông ABC, ta có:
AB^2 = AH^2 + BH^2
10^2 = AH^2 + BH^2
100 = AH^2 + BH^2

Vì AH là đường cao nên AH^2 = BH^2 + HC^2
Vì tam giác ABC vuông tại A nên HC = AC = 6cm
Vậy AH^2 = BH^2 + 6^2
100 = BH^2 + 36
BH^2 = 100 - 36
BH^2 = 64
BH = 8cm

Vậy góc ABC = 90 độ, AH = 6cm, BH = 8cm.

2) Ta có AI là hình chiếu của H trên AB, nên tam giác AIH vuông tại I.
Tương tự, AK là hình chiếu của H trên AC, nên tam giác AKH vuông tại K.

Áp dụng định lí hình chiếu trong tam giác vuông AIH, ta có:
AI.AB = AH^2 + IH^2
AI.AB = 6^2 + IH^2
AI.AB = 36 + IH^2

Tương tự, áp dụng định lí hình chiếu trong tam giác vuông AKH, ta có:
AK.AC = AH^2 + KH^2
AK.AC = 6^2 + KH^2
AK.AC = 36 + KH^2

Vì tam giác AIH và tam giác AKH có cạnh góc vuông chung AH, nên IH = KH.
Vậy AI.AB = AK.AC.

3) Ta có tam giác AIK và tam giác ACB có:
- Hai góc vuông tại I và K.
- Góc A chung.

Vậy tam giác AIK đồng dạng tam giác ACB theo góc.