Để chứng minh điều phải chứng minh, ta sẽ sử dụng bất đẳng thức AM-GM.

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 3 số x, y, z ta có:
x + y + z ≥ 3√(xyz)

Vì x + y + z = 2, nên ta có:
2 ≥ 3√(xyz)

Bình phương cả 2 vế của bất đẳng thức trên ta có:
4 ≥ 9xyz

Chia cả 2 vế cho 9 ta có:
4/9 ≥ xyz

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 3 số 2 - x, 2 - y, 2 - z ta có:
(2 - x) + (2 - y) + (2 - z) ≥ 3√((2 - x)(2 - y)(2 - z))

Vì (2 - x) + (2 - y) + (2 - z) = 6 - (x + y + z) = 6 - 2 = 4, nên ta có:
4 ≥ 3√((2 - x)(2 - y)(2 - z))

Bình phương cả 2 vế của bất đẳng thức trên ta có:
16 ≥ 9(2 - x)(2 - y)(2 - z)

Vậy ta đã chứng minh được x + 2y + z ≥ (2 - x)(2 - y)(2 - z).