Để tìm n thuộc N thỏa mãn các điều kiện trên, ta sẽ kiểm tra từng điều kiện một:

1) 4 chia hết cho n: Điều này có nghĩa là n phải là ước của 4. Vì 4 có các ước là 1, 2 và 4, nên n có thể là 1, 2 hoặc 4.

2) 6 chia hết cho n-1: Điều này có nghĩa là n-1 phải là ước của 6. Vì 6 có các ước là 1, 2, 3 và 6, nên n-1 có thể là 1, 2, 3 hoặc 6. Tuy nhiên, n-1 không thể là 6 vì n là số tự nhiên, nên n-1 chỉ có thể là 1, 2 hoặc 3.

3) n+6 chia hết cho n: Điều này có nghĩa là n là ước của n+6. Vì n+6 có các ước là 1, 2, 3, 6, n+6, n+3 và n+2, nên n có thể là 1, 2, 3 hoặc 6.

4) n+5 chia hết cho n+1: Điều này có nghĩa là n+1 là ước của n+5. Vì n+5 có các ước là 1, 2, 5, n+5, n+2 và n+1, nên n+1 có thể là 1, 2 hoặc 5.

5) 4n+5 chia hết cho n: Điều này có nghĩa là n là ước của 4n+5. Ta có thể viết 4n+5 dưới dạng (4n+4)+1 = 4(n+1)+1. Vì 4(n+1) chia hết cho n, nên để 4(n+1)+1 chia hết cho n, ta cần n+1 chia hết cho n. Điều này chỉ xảy ra khi n = 1 hoặc n = -1.

6) 4n+2 chia hết cho 2n+6: Điều này có nghĩa là 2n+6 là ước của 4n+2. Ta có thể viết 4n+2 dưới dạng (2n+6)-4 = 2(n+3)-4. Vì 2(n+3) chia hết cho 2n+6, nên để 2(n+3)-4 chia hết cho 2n+6, ta cần -4 chia hết cho 2n+6. Điều này chỉ xảy ra khi 2n+6 = -4, tức n = -5.

7) 2n+7 chia hết cho n+2: Điều này có nghĩa là n+2 là ước của 2n+7. Ta có thể viết 2n+7 dưới dạng (n+2)+5. Vì (n+2) chia hết cho n+2, nên để (n+2)+5 chia hết cho n+2, ta cần 5 chia hết cho n+2. Điều này chỉ xảy ra khi n+2 = 5, tức n = 3.

8) 38-3n chia hết cho n: Điều này có nghĩa là n là ước của 38-3n. Ta có thể viết 38-3n dưới dạng (38-3n)+3n = 38. Vì 38 chia hết cho n, nên n có thể là 1, 2, 19 hoặc 38.

Tóm lại, các giá trị của n thỏa mãn các điều kiện trên là: n = 1, 2, 3, 4, -5, 19 hoặc 38.