Để tìm x nguyên sao cho 3x - 1/x + 1 là một số nguyên, ta có thể giải phương trình sau:

3x - 1/x + 1 = n, với n là một số nguyên.

Để giải phương trình này, ta nhân cả hai vế của phương trình với x:

3x^2 - 1 + x = nx

Đưa tất cả các thành phần về cùng một vế:

3x^2 - nx + x - 1 = 0

Đây là một phương trình bậc hai. Để phương trình có nghiệm nguyên, ta cần phương trình trên có hai nghiệm nguyên hoặc một nghiệm nguyên kép.

Theo định lý Viète, tổng các nghiệm của phương trình bậc hai ax^2 + bx + c = 0 là -b/a và tích các nghiệm là c/a.

Áp dụng vào phương trình 3x^2 - nx + x - 1 = 0, ta có:

Tổng các nghiệm: -(-n)/3 = n/3
Tích các nghiệm: (-1)/3 = -1/3

Để phương trình có hai nghiệm nguyên hoặc một nghiệm nguyên kép, ta cần tổng các nghiệm là một số nguyên và tích các nghiệm là một số nguyên.

Vậy, để 3x - 1/x + 1 là một số nguyên, ta cần n/3 là một số nguyên và -1/3 là một số nguyên.

Tuy nhiên, -1/3 không phải là một số nguyên, do đó không tồn tại giá trị nguyên của x để 3x - 1/x + 1 là một số nguyên.